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√2 Apuntes

Apuntes ESO, Bachiller y PAU

Identidades trigonométricas

Suma y resta de ángulos

$$sin(x \pm y) = sin(x) \, cos(y) \pm cos(x) \, sin(y) \\
cos(x \pm y) = cos(x) \, cos(y) \mp sin(x) \, sin(y) \\
tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x) \, tan(y)}$$

Ángulo doble

$$ sen\, 2\alpha = 2\, sen\, \alpha \cdot cos\, \alpha = \frac{2\, tan\, \alpha} {1 + tan^2 \alpha} \\
cos\, 2\alpha = cos^2 \alpha – sen^2 \alpha = 2\, cos^2 \alpha – 1
= 1 – 2\, sen^2 \alpha = \frac{1 – tan^2 \alpha} {1 + tan^2 \alpha} \\
tan\,2\alpha = \frac{2\, tan\, \alpha} {1 – tan^2 \alpha}
$$

Ángulo Triple

$$ sen\,3\alpha = 3\,sen\,\alpha- 4\,sen^3\alpha \\
cos\,3\alpha = 4\,cos^3\alpha – 3\,cos\,\alpha \\
tan\,3\alpha = \frac{3\,tan\,\alpha – tan^3\alpha}{1 – 3\,tan^2\alpha}
$$

Ángulo mitad

$$ sen \frac{\alpha}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 – cos\,\alpha}{2}} \\
cos \frac{\alpha}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + cos\,\alpha}{2}} \\
tan \frac{\alpha}{2} = \frac{sen\,\alpha}{1 + cos\,\alpha} = \pm\, \sqrt{1 – cos\,\alpha \over 1 + cos\,\alpha} $$

Reducción de exponentes

$$sen^2\alpha = \frac{1 – cos\,2\alpha}{2} \\
cos^2\alpha = \frac{1 + cos\,2\alpha}{2} \\
sen^2\alpha \cdot cos^2\alpha = \frac{1 – cos\, 4\alpha}{8}$$

Mayor grado

$$sen^3\alpha = \frac{3\,sen\,\alpha – sen\, 3\alpha}{4} \\
sen^4\alpha = \frac{3 – 4\, cos\, 2\alpha + cos\, 4\alpha}{8} \\
cos^3\alpha = \frac{3\, cos\,\alpha + cos\, 3\alpha}{4} \\
cos^4\alpha = \frac{3 + 4\, cos\, 2\alpha + cos\, 4\alpha}{8} \\
cos^5\alpha = \frac{10\, cos\,\alpha + 5\, cos\, 3\alpha + cos\, 5\alpha}{16} \\
sen^3\alpha \cdot cos^3\alpha = \frac{sen^3 \,2\alpha}{8}$$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

$$sen\, x \cdot sen\, y= {cos(x – y) – cos(x + y) \over 2} \\
cos\, x \cdot cos\, y= {cos(x + y) + cos(x – y) \over 2} \\
sen\, x \cdot cos\, y= {sen(x + y) + sen(x – y) \over 2} \\
cos\, x \cdot sen\, y= {sen(x + y) – sen(x – y) \over 2}$$

Paso de suma a producto

$$sen\, a + sen\, b= 2\, sen\left( \frac{a + b}{2} \right)\, cos\left( \frac{a – b}{2} \right) \\
sen\, a – sen\, b= 2\, cos\left( \frac{a + b}{2} \right)\, sen\left( \frac{a – b}{2} \right) \\
cos\, a + cos\, b= 2\, cos\left( \frac{a + b}{2} \right)\, cos\left( \frac{a – b}{2} \right) \\
cos\, a – cos\, b= -2\, sen\left( \frac{a + b}{2} \right)\, sen\left( \frac{a – b}{2} \right)$$

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