La Trigonometría es la profundización en el estudio de triángulos. Dado que cualquier figura geométrica de lados rectos puede descomponerse en triángulos, y toda curva puede aproximarse por pequeños segmentos rectos, la trigonometría nos abre la posibilidad de estudiar y resolver todas las figuras que se pueden representar.
Parte de la dificultad de su estudio reside en los nombres que se le dan a cada uno de los elementos, que se mantienen del latín, y actualmente han perdido el significado que antaño tuvieron. Para poder memorizarlo más fácilmente utilizaremos algunas reglas nemotécnicas para que resulte más fácil.
La base de la trigonometría parte del estudio de triángulos rectángulos, así que recordaremos con la notación que nos interesa para este tema, los dos teoremas más importantes sobre triángulos y definiremos después los nombres de las razones trigonométricas.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto, al que llamaremos rampa (tradicionalmente llamado hipotenusa), es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, que son lo que camina y lo que sube (tradicionalmente llamados catetos):
$$r^2 = s^2 + c^2$$
Teorema de Thales 1
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos iguales, y en ese caso, la razón entre dos de sus lados tiene que ser igual.
Consecuencias del Teorema de Thales 1
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, el tercer ángulo también es igual, y por tanto, dos triángulos son semejantes si tiene dos ángulos iguales.
En el caso de triángulos rectángulos, como ya tienen el ángulo recto común igual, la consecuencia es que:
Dos triángulos rectángulos son semejantes, si tienen otro ángulo igual.
Si situamos los triángulos rectángulos en forma clásica, el ángulo que vamos a fijarnos para compararlo dos triángulos lo llamaremos $\alpha$ (alpha, a griega), y a su complementario $\beta$ (beta, b giega).
Definiciones Trigonométricas
Así las razones que se mantiene constantes en triángulos semejantes, siempre valen lo mismo para un único valor de $\alpha$, y se definen así:
$$sen \, \alpha = \frac{sube}{rampa} \\ cos \, \alpha = \frac{camina}{rampa} \\ tan \, \alpha = \frac{sube}{camina}$$
Por tradición sus inversos multiplicativos tienen también un nombre propio:
$$cosec \, \alpha = \frac{1}{sen \, \alpha} \\ sec \, \alpha = \frac{1}{cos \, \alpha} \\ cotan \, \alpha = \frac{1}{tan \, \alpha}$$
Historia de los nombres
Teorema fundamental de la Trigonometría
Mezclando el teorema de Pitágoras con las nuevas definiciones que tenemos, nos queda la fórmula:
$$sen^2\,\alpha + cos^2\,\alpha = 1$$