Dentro de todo el conjunto de matrices, las cuadradas permiten un conjunto extra de operaciones. Definirlas en tamaño 2×2 permite cogerle el truco, para después ser capaces de realizar las operaciones más tediosos y sólo un poco más comlejas en tamaños superiores.
1. Determinantes
El determinante nace de expresar cómo la matriz, como función, amplia o disminuye el valor del área del cuadrado unidad en el plano $\mathbb{R}^2$. Pero a efectos de aprendizaje, se estudia como el producto de la diagonal principal menos la diagonal secundaria, y se indica poniendo palos verticales en vez de paréntesis (cómo en el valor absoluto):
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = -2 $$
1.1 Propiedades de los determinantes
1. $ |A^\tau| = |A|$
2. $ |k \cdot A| = k^n |A|$ con $n=2,3, \dots$ (dimensión de la matriz)
3. $ |A \circ B| = |A| \cdot |B|$
4. $ |A^n| = |A|^n$
5. $ |A^{-}| = |A|^{-1}$
Hay otro conjunto de propiedades de los determinantes que están relacionados con las operaciones del método de Gauss-Jordan que no tiene sentido ponerlos aquí.
2. Inversa
La inversa de una matriz es aquella que al componerla con ella misma da la identidad ($A \circ A^- = Id$), siendo la matriz identidad
$$Id = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
La matriz inversa de una 2×2 es como un juego de cambiar números. Se cambia de posición los elementos de la diagonal principal y de signo los de la diagonal secundaria. Además se divide por el determinante:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}^{-} = \frac{1}{1 \cdot 5 – 3 \cdot 2} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} $$
2. Ejercicios de Matrices Inversas 2×2
Ejercicios sacados de PAU de Andalucía. El código para Matemáticas II es (II) y para Matemáticas Ciencias Sociales (SS), seguido del año, el modelo, y la opción.
| SS-17-3A) | $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ | II-15-3B) | $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ |
| SS-16-1B) | $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ | II-15-3A) | $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ |
3. Ecuaciones Matriciales
Como la composición de matrices es la forma más interesante de operar con ellas, se omite para hacer las operaciones más rápido. $A \circ B = AB$. Como la composición de funciones no es como la multiplicación, es una operación no conmutativa, es decir, $AB \not= BA$
Para despejar una matriz incógnita, tenemos que multiplicar por la derecha o por la izquierda dependiendo de donde esté la matriz:
$$ AX = B \, ; \ A^-AX = A^-B \, ; \ X = A^-B$$
$$ XA = B \, ; \ XAA^- = BA^- \, ; \ X = BA^-$$
3. Ejercicios de Ecuaciones Matriciales
| SS-17-1A) | $A^\tau + BX = 3B$ | SS-17-2A) | $AX = B – C $ |
| SS-17-3A) | $(A+B)X = A – B$ | II-17-1B) | $ABX–2C = CX$ |
| II-17-4B) | $A^-XA+I = B$ | II-17-3A) | $XA+I = 3A $ |
| SS-16-1A) | $A^2X + C = 2B$ | SS-16-2A) | $CBX – 2AX = A^\tau$ |
| SS-16-3B) | $X (B B^\tau) = \frac{1}{2}A – 2A^\tau$ | SS-16-4B) | $AX-B = C^\tau$ |
| II-16-1A) | $AX + B^2 = BX + A^2$ | II-16-3A) | $AX + B = 2A$ |
| II-16-3B) | $CX – X = 2I$ |