Las matrices son estructuras de números ordenados que forman un rectángulo. Y con ellas se pueden realizar las operaciones como con los números reales.
1. Suma/Resta de Matrices
Como cabía esperar, se suman elemento a elemento:
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 9 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 & 10 \\ 12 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$
De forma análoga pasa con la resta. Cabe destacar que sólo se pueden sumar y restar matrices que tengan las mismas dimensiones (mismas filas y columnas).
Si le faltan filas o columnas, existen varias formas sencillas de expandirlas (añadiendo ceros, o añadiendo un 1 en la diagonal y el resto ceros entre otras) pero se considera que no está bien planteado el problema en el dicho caso, y se dice que “no se pueden sumar/restar”.
2. Productos de Matrices
Una matriz se puede multiplicar por un número, por ejemplo:
$$3 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 9 & 12 & 15 \end{pmatrix}$$
Se pueden multiplicar elemento a elemento, pero no tiene un interés geométrico, así que se usa poco:
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 9 & 8 & 5 \end{pmatrix}$$
2. Ejercicios de Matrices
Realiza las siguientes operaciones
$\displaystyle a)\ 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 3 & -4 & 5 \end{pmatrix}$
3. Composición de Matrices
Las matrices se crearon desde la prespectiva de funciones de varias variables. Pero su uso se puede generalizar a tantas cosas, que sin entrar en detalles de la demostración de cómo se compone, se enseñar la operación de sumar los productos de elementos de las filas por las columnas como operación principal, ya que tiene muchas propiedades interesantes.
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 6 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ 86\end{pmatrix} $$
Como se puede observar, no se tienen porqué multiplicar matrices del mismo tamaño, de hecho la regla que tienen que cumplir es que las columnas de la primera segan iguales a las filas del segundo, dando como resultado las filas del primero y las columnas del segundo, es más fácil verlo con fórmulas:
$$A_{x,y} \circ B_{y,z} = (A \circ B)_{x,z}$$
3. Ejercicios de Matrices
Realiza la siguiente composición de matrices:
$\displaystyle a) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \quad \quad \quad \quad b) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} $
$\displaystyle c) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \quad \quad \quad d) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $
4. Transporner matrices
Transponer es reordenador los datos, leyendo las filas y escribiéndolas como columnas (mucho cuidado, no es un giro). Se indica elevando a $\tau$
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}^\tau = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$