Los números N – √2 Apuntes

La creación de los números como los conocemos hoy en día, ha llevado un largo desarrollo desde su primer uso en China en el siglo V, el cambio de símbolos a unos más parecidos a los nuestros al adaptarlo los indúes sobre el s. VII, su posterior aprendizaje y adopción por los árabes en el s.VIII, y finalmente la adopción por los Europeos debido a sus ventajas frente a los números romanos sobre el s.XV.

Así se dará una introducción con detalle sobre los algoritmos de suma y multiplicación que se memorizan desde primaria, pero con una demostración formal de su porqué.

En esta página consideraremos los números naturales sin el cero, ya que dependiendo del autor lo incluye o lo excluye, ya que el cero aparece con la resta, y eso está asociado a los enteros (el siguiente conjunto).El conjutos de los naturales con la suma es un semigrupo $(\mathbb{N},\, +)$, y los naturales con la multiplicación es monoide $(\mathbb{N},\, \cdot)$.

Estructuras Algebraicas

Un magma es una conjunto con una operación interna.
Una operación interna es una operación, como la suma o la multilplicación, que al realizarla entre dos elementos de un conjunto, da un elemento del mismo, $\circledcirc : AxA \rightarrow A$, Por ejemplo $2,3 \in \mathbb{N} \Rightarrow 2 + 3 = 5 \in \mathbb{N}$

Un semigrupo es un magma con la propiedad asociativa.
La propiedad asociativa es que el orden de las operaciones no altera el resultado, $a \circledcirc (b \circledcirc c) = (a \circledcirc b) \circledcirc c$. La suma y el producto son asociativas, por otra parte la resta y la división no lo son. Por ejemplo: $2 + 3 = 5 = 3 + 2$, pero $ 4 – 1 = 3 \neq 1 – 4 = – 3$

Un monoide es un semigrupo con elemento neutro.
Un elemento neutro es un elemento que bajo la operación deja indiferente al otro por ambos lados, se le suele llamar $e$, $e \circledcirc a = a = a \circledcirc e$. El elemento neutro de la suma es el cero $0 + 7 = 7 = 7 + 0$ y el del producto el uno $1 \cdot 7 = 7 = 7 \cdot 1$. La resta y la división no tienen elemento neutro ya que $0 – 3 = -3 \neq 3 – 0 = 3$, $3 / 1 = 3 \neq 1 / 3 = 0,3333\dots$

Un grupo es un monoide con elementos simétricos para todos sus números.
Un elemento simétrico es aquel que tras operarlo con el primero da el elemento neutro. Puede haber elementos neutros por la izquierda y por la derecha diferentes, como en las matrices no cuadradas, o un único elemento simétrico para ambos lados, que es lo que ocurre en la suma y la multiplicación. $a \circledcirc a^-_d = e = a^-_i \circledcirc a$.
El opuesto es el elementro simétrico de la suma $-a$
El inverso es el elemento simétrico del porducto $a^{-1} = 1/a$
La inversa de una función o matriz es el elemento simétrico de esta, $f^-(x)$, $A^-$. Una función puede tener más de una inversa, en ese caso se numera $f^-_1(x), f^-_2(x), …$ y las matrices pueden tener inversas sólo por la derecha o la izquierda $A^-_i$, $A^-_d$ y si el rango es menor que las filas/columnas, le llama pseudo inversa ya que sólo cumplen $AA^-A = A$ pero no que $AA^- = I$.

Base 10

Para poder explicar estos conceptos, lo primero que hay que entender es que la elección de la base 10 es relativamente arbitraria, hay bases más eficientes a la hora de hacer cálulo mental como la base 6 (ó senario), los ordenadores usan la base 2 ya que sólo pueden interpretar dos valores de los registros, cargado o sin carga, y para poder descifrar la base 2 (ó binaria) de los ordenadores se agrupan en elementos de base 16 (ó hexadecimal).

Se rumorea que la base 10 tiene que ver con los 10 dedos de la mano, pero si se investiga un poco, es fácil encontrar cómo se ha contado siempre en base 6 y 12 con una sola mano igual de fácil o incluso más que con dos manos.

Puede que la manera más sencilla de entender cada base es ver cómo se podrían nombran los elementos en cada base:

Números en diferentes bases

Base 10	Base 6	Base 2	Base 16
0 cero	0 cero	0 cero	0 cero
1 uno	1 uno	1 uno	1 uno
2 dos	2 dos	10 par	2 dos
3 tres	3 tres	11 par y uno	3 tres
4 cuatro	4 cuatro	100 ciar	4 cuatro
5 cinco	5 cinco	101 ciar y uno	5 cinco
6 seis	10 sena	110 ciar par	6 seis
7 siete	11 sena y uno	111 ciar para y uno	7 siete
8 ocho	12 sena y dos	1000 miar	8 ocho
9 nueve	13 sena y tres	1001 miar y uno	9 nueve
10 diez	14 sena y cuatro	1010 miar par	A diez
11 diez y uno	15 sena y cinco	1011 miar par y uno	B once
12 diez y dos	20 visena	1100 miar ciar	C doce
13 diez y tres	21 visena y uno	1101 miar ciar y uno	D trece
14 diez y cuatro	22 visena y dos	1110 miar ciar par	E catorce
15 diez y cinco	23 visena y tres	1111 miar ciar par y uno	F quince
16 diez y seis	24 visena y cuatro	10000 pamiar	10 hexena
17 diez y siete	25 visena y cinco	10001 pamiar y uno	11 hexa y uno
18 diez y ocho	30 trisena	10010 pamiar par	12 hexa y dos

La suma

Una vez aprendida una base, pudiendo nombrar los números del 1 al 1000, puede ser introducido el algoritmo de sumar. Éste se basa en contar, desde el primer número, tantos números después como diga el segundo, por ejemplo, para: $ 7 + 3$

Empezando a contar desde 7 los siguientes tres números: ocho, nueve y diez, una vez llegado al tercero, tenemos la solución, pues la suma es 10. Esta operación de contar hacia delante se hace tan frecuentemente para números pequeños para cada tarea cotidiana, que a pesar de enseñarse a través de una tabla de la suma, usando el algoritmo cada vez que no se recuerda la solución, se aprende sola.

Pasamos ahora a la suma de dos cifras o más, para entender cómo funciona matemáticamente hay que introducir la descomposición en suma de potencias de 10, dejando en cada posición el exponente de la base, como se puede ver en este ejemplo:

$$12\,345 = 1 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10+2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$$

Esto genera la necesidad de explicar cómo se comportan las potencias de 10, hay que interpretarlas como que el exponente (el número pequeño de arriba) es el número de ceros que va a tener esa operación, por ejemplo: $10^7 = 10\,000\,000$ es un 1 con 7 ceros después, el número 10 millones. Y el caso particular de un 10 elevado a 0, significa que tiene 0 ceros detrás, es decir, $10^0 = 1$.

Además de tener que aclarar también que al multiplicar un múmero por una potencia de 10, solo se le añaden los ceros detrás, es decir, $2 \cdot 10^3 = 2 \cdot 1\,000 = 2\,000$. Todos estos pasos son omitidos durante su enseñanza en primaria y sustituidos por procedimientos mecánicos que son más fáciles de enseñar, pero a una edad adulta puede que insuficientes si se quiere entender qué se está haciendo.

La descomposición en base 10 permite mediante la reordención de iguales (más formalmente hablando la propiedad distributiva y asociativa) permite la suma sin llevadas de una manera sencilla:

$12 + 34 =$
$ 1 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 =$
$1 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^0 =$
$(1+3) \cdot 10^1 + (2+4) \cdot 10^0 =$
$4 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 =$
$46$

Para la suma con llevadas hay que usar la propiedad distributiva además de añadir la regla que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, por ejemplo: $10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5$

$56 + 78 =$
$5 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 =$
$5 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 8 \cdot 10^0 =$
$(5+7) \cdot 10^1 + (6+8) \cdot 10^0 =$
$12 \cdot 10^1 + 14 \cdot 10^0 = $
$(1 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0) \cdot 10^1 + (1 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0) \cdot 10^0 =$
$1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 =$
$1 \cdot 10^2 + (2 + 1) \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 =$
$1 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 =$
$134$

En la suma de dos números, como la máxima suma posible des cifras es $9 + 9 = 18$ como máximo se llevará 1, por eso se suele usar el palo de la I mayúscula representando que se lleva una. La suma encadenada de varias crifras con este método si puede llevarse más de 1, y los pasos serían los mismo.

Multiplicación

La multiplicación es una operación de segundo nivel, que acumula sumas de forma iterativa (la operación de primer nivel). Así se describe la multiplicación como la suma iterada de un mísmo número, y se calcula a partir de esta una tabla que tras memorizarla sí que genera un cálculo más rápido.

Tablas de multiplicar en base 10 y 6

Tabla base 10 (64 difíciles)		Base 6 (16 difíciles)
	2	3	4	5	6	7	8	9		2	3	4	5
1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5
2	4	6	8	10	12	14	16	18	2	4	10	12	14
3	6	9	12	15	18	21	24	27	3	10	13	20	23
4	8	12	16	20	24	28	32	36	4	12	20	24	32
5	10	15	20	25	30	35	40	45	5	14	23	32	41
6	12	18	24	30	36	42	48	54	10	20	30	40	50
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81
10	20	30	40	50	60	70	80	90

El algoritmo de multilplicar varias cifras también está asociado a su descomposición en base 10, al igual que pasaba con la suma, aplicando doblemente la propieda distritubiva, se puede ver con un ejemplo:

$23 \cdot 45 =$
$(2 \cdot 10 + 3) \cdot (4 \cdot 10 + 5) = $
$2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot 5 = $
$8 \cdot 10 ^2 + 10 \cdot 10 + 12 \cdot 10 + 15 =$
$8 \cdot 10 ^2 + 1 \cdot 10^2 + (1 \cdot 10 + 2) \cdot 10 + 1\cdot 10 + 5=$
$(8+1+1) \cdot 10^2 + (2 + 1) \cdot 10 + 5 =$
$1035$