Integrales IV Trigonométricas

Lo primero que hay que aprenderse son las fórmulas de integrales trigonométricas:
 

$\displaystyle \int cos\,x = sen\,x$ $\displaystyle \int cosh\,x = senh\,x$
$\displaystyle \int sen\,x = -cos\,x$ $\displaystyle \int senh\,x = cosh\,x$
$\displaystyle \int \frac{1}{cos^2x} = tan\,x$ $\displaystyle \int \frac{1}{cosh^2x} = tanh\,x$
$\displaystyle \int \frac{1}{sen^2x} = \frac{-1}{tan\,x}$ $\displaystyle \int \frac{1}{senh^2x} = \frac{-1}{tanh\,x}$

1. Simplificar

Hay muchas integrales trigonométricas que siendo aparentemente difícicles, al simplificarlas se obtiene una integrales inmediatas resuelta en la tabla anterior.

Para simplificar tenemos que transformas todo a productos/sumas de senos y cosenos, a partir de las demás

1. Ejercicios de Integrales Trigonométricas

$a) \displaystyle \int 1 + tan^2\,x \quad \quad \quad b) \int 1 + cotan^2\,x$

Potencias

Si tenemos una integral del tipo:

$$\int sen^n\,x \ cos^m\,x$$

con $m,n\in \mathbb{Z}$ (pueden ser números positivos, negativos o cero). Se resuelve en función de su paridad, de forma general, nos cogeremos la función cuyo exponente no sea impar. Veamos las posibles combinaciones al detalle:

  1. Si n, m ambos son impares
    1. Si $n > 0$ y $m \lt 0$ cogemos el cambio de la función negativa (que es quien divide) $t = cos\, x$, y viveversa (si $n > 0$ y $m \lt 0$ cogemos $t = sen\, x$)
    2. Si las dos tienen el mismo signo $n \cdot m > 0$ cogemos $t = sen\, x$ si $|n|$ es el mayor, o $t=cos\,x$ si $|m|$ es el mayor
  2. Si n es par y m impar

    3. Entonces nos cogemos $t = sen\,x$

  3. Si m es par y n impar

    4. Entonces nos cogemos $t = cos\,x$

  4. Si ambos son pares
    1. Primero se intenta realizan el cambio de variable $s = tan\, x$ donde se sustituye
      2. $s = tan\, x$,   $\displaystyle sen^2x = \frac{s^2}{1+s^2}$,   $\displaystyle cos^2x = \frac{1}{1+s^2}$,   $\displaystyle x’_s = \frac{1}{1+s^2}$
    2. Si no se puede, se intenta simplificar con las identidades
      3. $\displaystyle \int sen^2\,x = \int \frac{1-cos\,2x}{2} = \frac{x}{2} – \frac{sen\,2x}{4} + C$
      $\displaystyle \int cos^2\,x = \int \frac{1+cos\,2x}{2} = \frac{x}{2} + \frac{sen\,2x}{4} + C$
      $\displaystyle \int sen^4\,x = \int \frac{3-4cos\,2x+cos\, 4x}{8} = \frac{3x}{8} – \frac{sen\,2x}{4} + \frac{sen \, 4x}{32} + C$
      $\displaystyle \int cos^4\,x = \int \frac{3+4cos\,2x+cos\, 4x}{8} = \frac{3x}{8} + \frac{sen\,2x}{4} + \frac{sen \, 4x}{32} + C$

Combinaciones de cocientes con sumas de senos y cosenos

Un cambio que se utiliza mucho para integrales de cocientes con sumas/restas es la de

$\displaystyle u = tan\frac{x}{2}$ ,   donde:   $\displaystyle sen\,x= \frac{2u}{1+u^2}$ ,   $\displaystyle cos\,x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$ ,   $\displaystyle x’_u = \frac{2}{u^2}$

Integrales radicales con cambio a trigonométricas

Hay un conjunto de integrales con raíces que se resuelve haciendo un cambio trigonométrico, basándose en la idea de que $1 – sen^2x = cos^2$, y que $tan^2x +1 = \frac{1}{cos^2x}$ y que $sec^2x – 1 = tan^2x$. Supongamos que los coeficientes son positivos porque los casos dependerán de los signos de las derivadas ($a,\, c \in \mathbb{R}^+$)

  1. $\displaystyle \int \sqrt{c-ax^2}$ entonces se realiza el cambio:
    $\displaystyle x = \sqrt{\frac{c}{a}} sen(t)$
  2. $\displaystyle \int \sqrt{ax^2-c}$ entonces se realiza el cambio:
    $\displaystyle x = \sqrt{\frac{c}{a}} sec(t)$
  3. $\displaystyle \int \sqrt{ax^2+c}$ entonces se realiza el cambio:
    $\displaystyle x = \sqrt{\frac{c}{a}} tan(t)$

Donde se hace necesario para resolver finalmente las identidades:

$\displaystyle sen\, x = \sqrt{1 – cos^2x} = \frac{tan\,x}{\sqrt{1+tan^2x}}$

$\displaystyle cos\, x = \sqrt{1 – sen^2x} = \frac{1}{\sqrt{1+tan^2x}}$

$\displaystyle tan\, x = \frac{sen\,x}{\sqrt{1 – sen^2x}} = \frac{\sqrt{1 – cos^2x}}{cos\,x}$