Los cocientes de polinomios se resuelven separándolos en suma de cocientes más simples, hasta llegar a uno de los que aparece en la tabla.
Tabla de Integrales de cocientes de polinomios
| $\displaystyle \int \frac{1}{mx+n} = \frac{1}{m}ln|mx+n|$ | $\displaystyle \int \frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{2}ln|x^2+1|$ |
| $\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} = arctan\,x$ | $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = argsenh\,x$ |
| $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = arcsen\,x$ | $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} = argcosh\,x$ |
Los siguientes pasos se encadenan dependiendo de los resultados que te de cada integral. Pero para aprenderlos vamos a poner de ejemplo integrales que sólo requieran de un sólo paso.
1. Reducir el grado del numerador para que sea menor que el del denominador
Si tenemos una integral que es un cociente de polinomios, con el grado del numerador mayor o igual que el del denominador.
$$\int \frac{P(x)}{D(x)} = \int C(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$$
Esto se realiza haciendo divisiones de polinomios.
1. Ejercicios de integrales polinómicas resueltas
$a) \displaystyle \int \frac{x^2 + 2x – 1}{x+1} \quad \quad \quad b) \int \frac{x-2}{x+2}$
$c) \displaystyle \int \frac{x-5}{x} \quad \quad d)\int \frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3} $
Soluciones
2. Separar raíces simples
Si el divisor tiene raíces reales simples, se puede separar de la forma
$$\frac{R(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} = \frac{A (x-b) + B (x-a)}{(x-a)(x-b)}$$
Y para que se cumpla la ecuación, como los denominadores son iguales, solo hay que igualar los numeradores para que sean iguales, quedando la ecuación
$$R(x) = A (x-b) + B (x-a) = (A+B)x + (-Ab -Ba)$$
A partir de ahí hay dos métodos, sustituir valores en x, preferiblemente para x=a, x=b ya que se despeja muy fácil. O expandir las operaciones e igualar los coeficientes.
Se expande de forma natural para grado 3, 4, 5,… como
$$\frac{R(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)\dots(x-z)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c} + \dots + \frac{Z}{x-z}$$
2. Ejercicios de integrales polinómicas resueltas
$a) \displaystyle \int \frac{1}{x^2-5x+6} \quad \quad \quad b) \int \frac{2x-1}{x^2+3x+2} $
$c) \displaystyle \int \frac{x}{x^2+2x-3} \quad \quad d)\int \frac{3x-4}{2x^2-5x-3}$
Soluciones
3. Separar raíces múltiples
Si el divisor tiene raíces multiples, se separa elevando varias veces
$$\frac{R(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} = \frac{A (x-a) + B}{(x-a)^2}$$
Igualando los numeradores
$$R(x) = A (x-a) + B = Ax + (B -Aa)$$
y se puede resolver dándole dos valores, o igualando coeficientes, que en el caso de raíces múltiples igualar coeficientes es más rápido.
3. Ejercicios de integrales polinómicas
$a) \displaystyle \int \frac{x+1}{x^2-6x+9} \quad \quad b) \int \frac{3x-2}{4x^2+4x+1}$
4. Raíces complejas con $b=0$
Estas integrales hay que realizar un cambio de variable que transforme $ax^2 + c \rightarrow k(t^2 + 1)$ mediante el cambio de variable $x = \sqrt{\frac{c}{a}} \, t$, $t’ = \sqrt{\frac{a}{c}}$ así de forma general queda
$\displaystyle = \sqrt{\frac{c}{a}} \cdot \int_t \frac{A \sqrt{\frac{c}{a}} t + B}{ c \, (t^2 + 1 )} = $
$\displaystyle = \frac{\sqrt{c}}{c\sqrt{a}} \left( A\sqrt{\frac{c}{a}} \int_t \frac{t}{ t^2 + 1} + B \int_t \frac{1}{ t^2 + 1} \right) = $
$\displaystyle = \frac{A}{a} \frac{1}{2} ln|t^2 + 1| + \frac{B \sqrt{c}}{c\sqrt{a}}arctan(t) =$
$\displaystyle = \frac{A}{2a} ln(ax^2 + c) + \frac{B}{\sqrt{ac}}arctan\left(\sqrt{\frac{a}{c}} \, x \right) + C$
4. Ejercicios de integrales polinómicas
$a) \displaystyle \int \frac{4}{x^2+9} \quad \quad \quad b) \int \frac{5x}{4x^2+9}$
$c) \displaystyle \int \frac{2x+6}{9x^2+4} \quad \quad d)\int \frac{2x-3}{5x^2+6}$
5. Raíces complejas completas
Hay que entrar $ax^2 + bx + c \rightarrow k(t^2 + 1)$, para ello se utiliza un cambio de variable que elimine la b, y usaremos resolvente, llamándo R a la parte real e I a la imaginaria.
$\displaystyle = \int_t \frac{A (It+R) + B}{a(It +R)^2+ b(It + R) + c} \cdot I = $
(con números se aconseja multilpicar por $4a^2$ arriba y abajo para quitar fracciones si las hubiere)
$\displaystyle = I\int_t \frac{AIt + AR +B}{aI^2t^2 + 2aIRt + aR^2 + bIt + bR + C} = $
Como $2aIRt + bIt = 0$ y $aR^2+br+C = aI^2$ simplificamos a
$\displaystyle = \frac{I}{aI^2} \int_t \frac{AIt + AR +B}{t^2 + 1} = $
$\displaystyle = \frac{1}{aI} \left( \int_t \frac{AIt + AR +B}{t^2 + 1} \right) = $
$\displaystyle = \frac{A}{a} \int_t \frac{t}{t^2 + 1} + \frac{AR +B}{aI} \int_t \frac{1}{t^2 + 1} = $
$\displaystyle = \frac{A}{2a} \cdot ln|t^2+1| + \frac{AR + B}{Ia} \cdot arctan (t) = $
$\displaystyle = \frac{A}{2a} \cdot ln|ax^2 + bx + c| + \frac{AR + B}{aI}\cdot arctan \left(\frac{x-R}{I} \right) + C $
Nota: Este cambio de variable de un solo paso, puede realizarse en dos (que lo hace más largo) haciendo un primer cambio de $x=t+R$ y después el cambio del apartado 3, $t = \sqrt{c/a} \, s$.
5. Ejercicios de integrales polinómicas
$a) \displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2-2x+2} \quad \quad \quad b) \int \frac{6x-3}{x^2+2x+10}$
$c) \displaystyle \int \frac{4x+8}{2x^2-2x+5} \quad \quad d)\int \frac{x+1}{3x^2+5x+7}$
6. Factorizar Polinomios bicuadráticos que se descomponen en polinomios de segundo grado irreducibles
Alguna vez he encontrado este tipo de integrales que son muy difíciles de resolver al tener que cruzar las parejas de soluciones. Poniéndonos en contexto, una bicuadrática de la forma
$$Ax^4 + Bx^2 + C = 0 \, ; \quad x = \pm \sqrt{\frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}}$$
Para poder solucionar el ejercicio, tenemos que entender que una bicuadrada al ser conjugadas sus soluciones, se pueden combinar entre ellas para obtener esta identidad notable:
$(ax^2+bx+c)\cdot(ax^2-bx+c) =$ $ a^2 x^4 + (2ac -b^2) x^2 + c^2 =$ $ Ax^4 + Bx^2 + C$
Quedando el sistema de ecuaciones
$\begin{Bmatrix} a^2 = A \\ 2ac – b^2 = B \\ c^2 = C \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} a = \sqrt{A} \\ 2\sqrt{AC} – b^2 = B \\ c = \sqrt{C} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} a = \sqrt{A} \\ b = \sqrt{2\sqrt{AC} – B} \\ c = \sqrt{C} \end{Bmatrix} =$
Se puede descomponer en dos ecuaciones de segundo grado de la forma:
$$Ax^4 + Bx^2 + C = (ax^2+bx+c)(ax^2-bx+c)$$
Siendo
$a = \sqrt{A}$
$b = \sqrt{2\sqrt{AC} – B} $
$c = \sqrt{C}$
6. Ejercicios de integrales polinómicas
$a) \displaystyle \int \frac{1}{x^4+x^2+4} \quad \quad b) \int \frac{2x^3-5x^2+3x-1}{x^4+2x^2+9}$