Cambio de variable con Derivación Implícita
Hay dos técnicas más de integración muy importantes que integran otros tipos de funciones que no es suficiente con un cambio de variable. Para ello usaremos el teorema inversa (TFI), que resumido en una fórmula es (suponiendo que las funciones son buena gente)
$$x’_t = \frac{1}{t’_x}$$
Por lo tanto, en el cambio de variable que estamos acostumbrados a hacer, ahora podemos realizar la derivada respecto de $t$, y multiplicar por $x’$ en vez de dividir por $t’$. Suele ser muy útil en dos casos, cuando hay exponenciales y cuando hay raíces.
1. Ejemplo de Raíces con cambio de variable con Derivación Implícita
$\displaystyle \int x\sqrt{x^2-3}$ el cambio de variable es $t=\sqrt{x^2-3}$ y ahora tenemos tres opciones:
- Hacer el cambio como siempre $\displaystyle t’ = \frac{1}{2\sqrt{x^2-3}} \cdot 2x$ quedando $\displaystyle t’ = \frac{x}{t}$ y sustituir como $\displaystyle \int x t \frac{t}{x} = \int t^2 = t^3/3 = \sqrt{x^2-3}^3/3$
- Quitar la raíz cuadrada elevando el cambio de variable al cuadrado $t^2 = x^2 – 3$ y ahora derivar ambos miembros respecto de x ,derivada implícita, quedando $2t t’ = 2x$, $\displaystyle t’ = \frac{x}{t}$ y ahora repetir lo mismo $\displaystyle \int x t \frac{t}{x} = \int t^2 = t^3/3 = \sqrt{x^2-3}^3/3$
- Y ahora más rápido pero más dificil, además de elevar al cuadrado $t^2 = x^2 – 3$ y ahora derivar ambos miembros respecto de t ,derivada implícita de la inversa, quedando $2t = 2x x’_t$, $\displaystyle x’ = \frac{t}{x}$ y ahora en vez de dividir por $t’$ por el TFI se multiplica por $x’_t$ quedano lo mismo $\displaystyle \int x t \frac{t}{x} = \int t^2 = t^3/3 = \sqrt{x^2-3}^3/3$
Integración por Partes
Esta método parte de la fórmula de la derivación del producto de dos funciones, como $(fg)’ = f’g + fg’$ podemos despejarlo como $fg’ = (fg)’ – f’g$ que al integrar en ambos miembros obtenemos la fórmula:
$$\int fg’ = fg\, – \int f’g $$
Así que cuando tenemos dos funciones de distintos tipos, por ejemplo polinómica con exponencial o alguna de estas con seno o coseno, cogemos como f según al regla ALPES = Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos. Y realizamos la tabla de cálculos tal que así:
$$\begin{bmatrix} f= f(x) & \overset{\partial_x}{\longrightarrow} & f’=\ldots \\ g =\ldots & \overset{\int_x}{\longleftarrow} & g’ = g(x)\end{bmatrix}$$
Y después aplicando la fórmula. Hay algunos casos raros como el logaritmo, el arcoseno/arcocoseno y la arcotangente, que se coge como f estas funciones, y como g la función 1.