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√2 Apuntes

Apuntes ESO, Bachiller y PAU

Integrales

Tabla de Integrales 1:

Para aprender a integrar es un buen comienzo aprenderse estas primeras cuatro integrales:

$\displaystyle \int x^n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ $\displaystyle \int \frac{1}{x} = \displaystyle ln|x|$
$\displaystyle \int \mathcal{e}^x = \mathcal{e}^x$ $\displaystyle \int cos\,x = sen\,x$

La suma de funciones y su producto por un número funciona bien como se esperaría. Y aunque no se incluye en la tabla, en la solución de las integrales definidas se tiene que incluir un +C, refiriéndose que al derivar se perdió una constante y que está ahí y no se conoce.

1. Ejercicios resueltos de integrales

$a) \displaystyle \int x^2 + 2x – 1 \quad \quad b) \int \frac{1}{3x} – 7 e^x + 2 cos\,x$

$c) \displaystyle \int \sqrt[3]{x^2} \quad \quad \quad \quad \quad d)\int \frac{3}{\sqrt[4]{x^5}}  \quad \quad \quad \quad \quad$

Solución

$\displaystyle a) \int x^2 + 2x -1 = \frac{x^3}{3} + x^2 – x + C$

$\displaystyle b) \int \frac{1}{3x} – 7 e^x + 2 cos\,x = \frac{1}{3}ln\,x – 7 e^x + 2 sen\,x + C$

$\displaystyle c) \int \sqrt[3]{x^2} = \int x^\frac{2}{3} = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}  = 3 \frac{\sqrt[3]{x^5}}{5} + C$

$\displaystyle d) \int \frac{3}{\sqrt[4]{x^5}} = 3 \int x^\frac{-5}{4} = 3 \frac{x^{\frac{-5}{4}+1}}{\frac{-5}{4}+1}  = 3 \frac{x^{\frac{-1}{4}}}{\frac{-1}{4}} =  {\frac{-12}{\sqrt[4]{x}}}  + C $

Lo primero que hay que aprender son los métodos de cambios de variable. Se abrevian como CV y se usan cuando una función está multiplicada por su derivada, ya que se sustituye la función por t, y se divide todo por la derivada a la que se le ha realizado el cambio de variable.

$$\int_x g(f(x)) \cdot f'(x) = \left[\begin{matrix}
t = f(x)\\
t’ = f'(x)
\end{matrix}\right]
\int_t \frac{g(t) \cancel{f’}}{\cancel{f’}} = \int_t g(t)$$

Esta notación es más moderana y rápida (de Jacobi – 1841). Sin embargo suele expresar normalmente con la notación de diferenciales (de Lebinitz – 1675), siendo $dx = 1/f'(x) dt$

$$\int g(f(x)) \cdot f'(x) \, dx= \left[\begin{matrix}
t = f(x)\\
t’ = f'(x) \\
dx = 1/f'(x) dt
\end{matrix}\right]
\int \frac{g(t) \cancel{f’}}{\cancel{f’}} \, dt = \int_t g(t) \, dt$$

2. Ejercicios de integrales resueltas

Para practicar, los cambios de variables sobre rectas es sencillo:

$a) \displaystyle \int (3x-4)^7 \quad \quad b) \int \frac{5}{2x+3}$

$ \quad c) \displaystyle \int e^{4x-5} \quad \quad \quad \quad d) \int cos(5x-3)$

$\displaystyle e) \int \sqrt{4x-1} \quad \quad  f) \int \frac{1}{\sqrt[3]{5x+6}^2}$

Solución

$\displaystyle a) \int (3x-4)^7 = [t=3x-4] = \frac{ (3x-4)^8 }{24} + C$

$\displaystyle b) \int \frac{5}{2x+3} = [t=2x+3] = \frac{5}{2} ln |2x+3|+ C$

$\displaystyle c) \int e^{4x-5} = [t=4x-5] = \frac{1}{4} e^{4x-5} + C$

$\displaystyle d) \int cos(5x-3) = [t=5x-3] =\frac{1}{5} sen(5x-3) + C $

$\displaystyle e) \int \sqrt{4x-1} = [t=4x-1] = \frac{1}{6} \sqrt{(4x-1)^3} + C$

$\displaystyle f) \int \frac{1}{\sqrt[3]{5x+6}^2} = [t=5x+6] = \frac{3}{5} \sqrt[3]{5x+6}+ C$

3. Ejercicios de integrales

En las siguientes integrales hay que separar la función de su derivada que se están multiplicando

$\displaystyle a) \int (x^2-x)^7(2x-1) \quad \quad b) \int \frac{x}{x^2+1}$

$\displaystyle c) \int e^{x^2+2x}(x+1) \quad \quad \quad d) \int x^2\,cos(x^3)$

$\displaystyle e) \int x^2\,\sqrt{x^3+2} \quad \quad \quad f) \int \frac{2x}{\sqrt[3]{x^2+5}^2}$

4. Ejercicios de integrales

Y no solo tiene porqué ser un polinomio, pueden ser más funciones:

$\displaystyle a) \int (sen\,x)^7 cos\,x \quad \quad b) \int e^x cos(e^x)$

$\displaystyle \quad c) \int \frac{sen\,x}{cos\,^3\,x}  \quad \quad \quad \quad d) \int e^{cos\,x} sen\,x$

5. Ejercicios de integrales

Dejo para el final integrales que tienen su dificultad en operaciones algebraicas, hasta que se simplifican para integrarlos

$\displaystyle a) \int x \sqrt x \quad \quad \quad b) \int \frac{x}{\sqrt[3]{x^2}}$

$\displaystyle \quad c) \int 2^x  \quad \quad \quad \quad d) \int \frac{sen\,x}{tan\,x} \quad$

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