Tabla de Integrales 1:
Para aprender a integrar es un buen comienzo aprenderse estas primeras cuatro integrales:
| $\displaystyle \int x^n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\displaystyle \int \frac{1}{x} = \displaystyle ln|x|$ |
| $\displaystyle \int \mathcal{e}^x = \mathcal{e}^x$ | $\displaystyle \int cos\,x = sen\,x$ |
La suma de funciones y su producto por un número funciona bien como se esperaría. Y aunque no se incluye en la tabla, en la solución de las integrales definidas se tiene que incluir un +C, refiriéndose que al derivar se perdió una constante y que está ahí y no se conoce.
1. Ejercicios resueltos de integrales
$a) \displaystyle \int x^2 + 2x – 1 \quad \quad b) \int \frac{1}{3x} – 7 e^x + 2 cos\,x$
$c) \displaystyle \int \sqrt[3]{x^2} \quad \quad \quad \quad \quad d)\int \frac{3}{\sqrt[4]{x^5}} \quad \quad \quad \quad \quad$
Solución
Lo primero que hay que aprender son los métodos de cambios de variable. Se abrevian como CV y se usan cuando una función está multiplicada por su derivada, ya que se sustituye la función por t, y se divide todo por la derivada a la que se le ha realizado el cambio de variable.
$$\int_x g(f(x)) \cdot f'(x) = \left[\begin{matrix}
t = f(x)\\
t’ = f'(x)
\end{matrix}\right]
\int_t \frac{g(t) \cancel{f’}}{\cancel{f’}} = \int_t g(t)$$
Esta notación es más moderana y rápida (de Jacobi – 1841). Sin embargo suele expresar normalmente con la notación de diferenciales (de Lebinitz – 1675), siendo $dx = 1/f'(x) dt$
$$\int g(f(x)) \cdot f'(x) \, dx= \left[\begin{matrix}
t = f(x)\\
t’ = f'(x) \\
dx = 1/f'(x) dt
\end{matrix}\right]
\int \frac{g(t) \cancel{f’}}{\cancel{f’}} \, dt = \int_t g(t) \, dt$$
2. Ejercicios de integrales resueltas
Para practicar, los cambios de variables sobre rectas es sencillo:
$a) \displaystyle \int (3x-4)^7 \quad \quad b) \int \frac{5}{2x+3}$
$ \quad c) \displaystyle \int e^{4x-5} \quad \quad \quad \quad d) \int cos(5x-3)$
$\displaystyle e) \int \sqrt{4x-1} \quad \quad f) \int \frac{1}{\sqrt[3]{5x+6}^2}$
Solución
3. Ejercicios de integrales
En las siguientes integrales hay que separar la función de su derivada que se están multiplicando
$\displaystyle a) \int (x^2-x)^7(2x-1) \quad \quad b) \int \frac{x}{x^2+1}$
$\displaystyle c) \int e^{x^2+2x}(x+1) \quad \quad \quad d) \int x^2\,cos(x^3)$
$\displaystyle e) \int x^2\,\sqrt{x^3+2} \quad \quad \quad f) \int \frac{2x}{\sqrt[3]{x^2+5}^2}$
4. Ejercicios de integrales
Y no solo tiene porqué ser un polinomio, pueden ser más funciones:
$\displaystyle a) \int (sen\,x)^7 cos\,x \quad \quad b) \int e^x cos(e^x)$
$\displaystyle \quad c) \int \frac{sen\,x}{cos\,^3\,x} \quad \quad \quad \quad d) \int e^{cos\,x} sen\,x$
5. Ejercicios de integrales
Dejo para el final integrales que tienen su dificultad en operaciones algebraicas, hasta que se simplifican para integrarlos
$\displaystyle a) \int x \sqrt x \quad \quad \quad b) \int \frac{x}{\sqrt[3]{x^2}}$
$\displaystyle \quad c) \int 2^x \quad \quad \quad \quad d) \int \frac{sen\,x}{tan\,x} \quad$