El infinito ha sido a lo largo de la historia un tema tabú, lleno de paradojas y de contradicciones con las que nos querían persuadir de su existencia y sentido. Llevo mucho tiempo intentando comprender este asunto, porque en matemáticas de forma escondida aparece y desaparece, los profesores lo nombran siempre de tapadillo, pocas veces lo escriben, cuando lo indican en los intervalos, en los límites o en las integrales recurren a las mejores explicaciones que pueden darnos pero que no aclaran el concepto.
Así que como buen matemático, me he dedicado a investigar qué podía sacar en claro de este tema, porque creo que el infinito es algo importante en las matemáticas, que está en todas las teorías, desde el álgebra con conjuntos infinitos, la geometría con las rectas, el análisis con los límites, y casi cualquier otra rama que busques, también está. Y voy a intentar explicar lo que he llegado a comprender de todo esto, que me ha llevado a algunas conclusiones interesantes y sobre todo muy útiles.
Antes quiero avisar que no relaciono estos enunciados matemáticos con ningún asunto filosófico, porque el infinito se ha asociado a lo largo de la historia con el Universo, Dios, el Alma, el tiempo, etc. Pero yo estoy buscando qué tiene que ver el transfinito de Cantor, con el punto infinito topológico, y con el límite máximo computacional, que en los ordenadores se llama infinito. Sobre todos estos conceptos matemáticos, se sacan conclusiones matemáticas, y al igual que al 1 no debería de hablarse de que representa la esencia del individuo, y el 0 no es la taza vacía capaz de llenarse con cualquier conocimiento, el infinito no debería de verse más que como otro número, y nada más.
También se que hablar de estos temas despierta polémica, como en su día le pasó a Hipaso con la raíz de 2, que fue ahogado por los pitagóricos porque no podía existir números iracionales. Me gustaría que este asunto se pareciera más a cómo Gauss le dio sentido a los números complejos, porque los representó en el plano, y entonces todo el mundo se dio cuenta de que si son puntos en el plano, entonces, sí pueden ser números, porque antes sin representación geométrica eran algo abstracto.
Para empezar hay 3 tipos de infinitos: el infinito (perfecto), los transfinitos y el casi inifinito (o máximo). Entender la diferencia y similitudes entre ellos, es lo que rompe con las contradicciones usuales que encontramos.
El infinito perfecto $\infty$
Este es el infinito del que todo el mundo cree que está hablando, pero que se confunde con los demás infinitos, así que vamos a aclarar quién es y de donde viene. Cuando se estudia las propiedades de los reales se observa que todos los elementos tiene inverso, excepto el cero. Analicemos un momento qué pasa aquí:
$$0 \cdot a = (1 – 1) * a = a – a = 0$$
Acabamos de demostrar la ley de absorción, que dice que cualquier número multiplicado por cero, es cero. Esto contradice la propiedad del inverso, que dice que un número multiplicado por su inverso es uno:
$$ a \cdot a^{-1} = 1$$
Bien, como la suma se crea antes que el producto, y este antes que la potencia, se debe de dar prioridad a la ley de abosrción porque involucra a la suma y al producto, antes que la del inverso, que involucra al producto y a la potencia. Pero este razonamiento no me deja tranquilo, entonces sigo investigando.
Cuando dibujamos la función inversa $f(x) = \frac{1}{x}$, ocurre que en el cero la función desaparece, porque en valores de $x$ cercanos al cero, la función $\frac{1}{x}$ toma valores enormemente grandes y ya no podedmos dibjarla. Y al revés, cuando la variable $x$ toma valores enormemente grandes, la función $\frac{1}{x}$ toma valores enormemente pequeños.
Esto nos hace pensar acerca de qué pasa cuando se acaban los números, si pudiéramos alejarnos todo lo que quisiéramos,
- ¿Podríamos ver la recta acabada?
- Claro que no, porque es infinita
- ¿Y si nos alejáramos infinito?
- Ah, entonces sí es posible
A ver, una representación sería una recta en la que los puntos finales, el $+ \infty$ y el $- \infty$ no se pueden alcanzar. Es aquí donde llega la rama matemática de la topología, y habla del cierre de los reales $\Bbb{R}$, que añade el punto infinito y convierte la recta en un círculo cerrado.
Se puede interpretar como si quisiéramos andar alrededor de la Tierra por el ecuador, y escogemos un punto del ecuador que va a ser el cero, y a nuestra izquierda contamos los kilómetros como negativos, y la derecha los positivos. La Tierra tiene aproximadamente $40\,000\ Km$ de perímetro, si numeramos a la izquierda y a la derecha, tendríamos desde el kilómetro $-20\,000$ hasta el $20\,000$, y ¿que pasaría donde ambos se encuentran? pues ese punto, donde se tocan los positivos y los negativos, es el infinito.
El truco matemático escondido es que el radio de ese círculo es infinito, por lo permite infinitos números entre el cero y el punto infinito, y no se acaba como el perímetro de la Tierra.
Para representar el punto infinito necesitamos usar una dimensión más. Si una recta tiene dimensión 1, podemos representar el infinito en una circunferencia en el plano (de dimensión 2). Si tenemos puntos en el plano, y añadimos un punto infinito, se puede representar en una esfera en el espacio (dimensión 3), que es la esfera de Rieman, y a partír de ahí se pueden añadir dimensiones superiores, aunque no se puedan dibujar sin proyectarlas.
Después de exponer estas ideas, se puede empezar a deducir dos cosas. La primera, que cuando la función inversa se acerca a cero, pasa de valores positivos muy grandes, a valores negativos muy grandes porque justo en $\frac{1}{0}$ alcanza el punto infinito. Es la idea de recorrer la circunferencia por arriba, llega un momento que se da la vuelta. Esto daría un sentido de continuidad a la función inversa que sin el infinito no lo tiene.
El otro concepto es que cuando $x$ toma valores muy grandes, tambíen se hace cero. Por lo que llegado a estas conclusiones, es inmediato asociar al infinto el inverso de cero, y viceversa
| $$\infty := \dfrac{1}{0} = 0^{-1}$$ | $$0 = \dfrac{1}{\infty} = \infty^{-1}$$ |
Siendo más matemáticamente formal diremos que al cuerpo de los reales, le añadimos un elemento externo, que tiene este símbolo $\infty$ y que le damos un nombre, infinito. Y que extiende las operaciones elementales (suma, multiplicación) sin salirse del nuevo conjunto, que le vamos a dar un símbolo $\overline{\Bbb{R}} := \Bbb{R} \cup \{ \infty \}$ por su parecido topológico con el cierre de $\Bbb R$. A la extensión de las reglas le acompaña lo que podría ser una demostración cuando veamos que esto tiene sentido.
| $\infty + n := \infty$ | $\infty + n = \infty (1 + \frac{n}{\infty}) = \infty (1 + n \cdot 0) = \infty (1) = \infty$ |
| $n \cdot \infty := \infty$ | $\displaystyle n \cdot \frac{1}{0} = \frac{n}{0} : 1 = \frac{n}{0} : \frac{n}{n} =\frac{n:n}{0:n} = \frac{1}{0}$ |
| $\infty + \infty := \infty$ | $\infty + \infty = (1 + 1) \cdot \infty = 2 \cdot \infty = \infty$ |
| $\infty \cdot \infty := \infty$ | $\displaystyle \frac{1}{0} \cdot \frac{1}{0} = \frac{1 \cdot 1}{0 \cdot 0} = \frac{1}{0} $ |
Ahora toca abordar la ley de absoción, y resolverlo será sencillo con estas reglas. En la demostración de la ley de absorción, se usaba el opuesto de un número $-a$. Claro, aquí hay que observar que el opuesto de infinito es él mismo, al igual que pasa con el cero. Así que
| $$0 \cdot \infty = \infty$$ |
Por que $0 \cdot \infty = (1-1) \cdot \infty= 1 \cdot \infty + (-1) \cdot \infty = \infty + \infty = 2 \cdot \infty = \infty$
Finalmente para la operción de potenciación, usando Taylor obtenemos que $\Bbb{e}^{\infty} = \sum_{n \geq 0}{\dfrac{\infty^n}{n!}} = \sum_{n \geq 0} \infty = \infty$, y por composición de la exponencial y el logaritmo tenemos que $a^\infty = \Bbb{e}^{\infty \cdot ln(a)} = \Bbb{e}^{\infty } = \infty$, y también que $ln(0) = ln (\frac{1}{\infty}) = – ln (\infty) = \infty$ es decir
$$ a^{\infty} = \infty \quad \quad log_b (0) = log_b(\infty) = \infty$$
Una vez resuelto la ley de absorción y la potenciación, se resuelve directamente todas las operaciones equivalentes a $0 \cdot \infty$, que en análisis se llaman indeterminaciones, y que aclararemos cómo se comporta este infinito con los límites usando el casi infinito. Veamos estas operaciones:
| $\displaystyle \infty – \infty = 0 \cdot \infty = \dfrac{0}{0} = 0^0 = \dfrac{\infty}{\infty} = \infty^{0} = 1^{\infty} = \infty$ |
Una vez vistas estas reglas, al estudiar qué tipo de propiedades cumple $\overline{\Bbb{R}}$, es casi un cuerpo excepto porque hay un elemento, el infinito, que no tiene opuesto ($-\infty = \infty$). Esto a efectos de resolver ecuaciones obliga a que al principio se compruebe si la incógnita tiene sentido para el valor infinito. En ese caso, esa es una solución, y en el otro caso de que no sea infinito, pues ya trabajamos como normalmente, ya que tanto sumar/restar o multiplicar/dividir por infinito estropea la ecuación.
Además, terminar una demostración con $a = a$ era equivalente a decir $0 = 0$ y significaba que habíamos terminado. Pero sin embargo, usar $\infty = \infty$ no sirve porque de $1 = 2$, pasaríamos a $1 \cdot \infty = 2 \cdot \infty$; $\infty = \infty$. Y es que el infinito no se respeta a sí mismo con el orden, porque si $\propto$ representa un número grande, que en el límite tiende a infinito
$$\left\{ \begin{matrix} – \propto < 0 \\ \propto > 0 \end{matrix} \right\} \Rightarrow -\propto < \propto \ \rightarrow \ \infty < \infty$$
Lo que quiere decir, que una vez hemos llegado a infinito, no podemos afirmar que algo sea verdad en una ecuación, porque no respeta el orden de la multiplicación. Esto realmente no es más que tener cuidado con no dividir por cero, algo que ocurre de la misma forma en $\Bbb{R}$ que en nuestra nueva extensión.
El transfinito $\aleph$ (aleph)
Este es el infinito de Gerog Cantor, y se refiere al tamaño de los números naturales, por lo que se define así $\aleph := |\Bbb {N}|$ donde la N rara, es la A del griego que se lee aleph. Este infinito es curioso porque no es el número más grande que puede obtenerse, sino que habla de el último número natural, esa sería la idea, es como si definieramos los naturales como:
$$\Bbb{N} = \{1,2,3,\ldots, \aleph \}$$
Y forma parte de la teoría de conjuntos, con esto me quiero referir, a que cualquier otro conjunto con el que se pueda mantener una aplicación biyectiva, tiene también como cardinal aleph. Entonces, los enteros tienen también este cardinal, ya que si asociamos los pares a los positivos y los impares a los negativos, tenemos una aplicación biyectiva que los relaciona. Como existe esta aplicación se dicen que son conjuntos numerables. Es más, los racionales tambíen son numerable, incluso los irracionales algebraicos son numerables (estos últimos son las raíces y combinaciones de sumas y producto de raíces, es numerable).
Pero sin embargo, los números reales, no son numerables porque contienen a los números trascendentes. La demostración es algo complicada, pero puede entenderse que no existe ninguna aplicación biyectiva entre un conjunto, y el conjunto de las partes. Por lo que una apliación de $f:A \rightarrow \mathcal {P}(A)$, donde si $|A| = n$, $|\mathcal{P}(A)|= 2^n$ no es biyectiva si el cardinal de su imagen es una potencia. Si vemos que tenemos infinitos números, de los cuales pueden tener infinitos decimales, los reales se representan por $\aleph^\aleph$, que es una potencia de $\aleph$ y por tanto, no es numerable.
Así los reales no son numerables, y se dice que su cardinal, mayor que $\aleph$, es $\aleph_1 := 2^\aleph$, por eso el primer transfinito se le suele poner el subíndice cero $\aleph = \aleph_0$ aunque yo no lo usaré porque casi siempre se usa el primer transfinito, el segundo no se maneja mucho. Así los irracionales trascendentes son no numerables, los complejos $\Bbb{C}$ son no numerables, y cualquier vector $\Bbb {R}^n$ es no numerable, de cardinal $\aleph_1$
Esto nos lleva a pensar en números transfinitos mayores, pero tampoco es normal salirse de estos conjuntos, un ejemplo de estos es el conjunto de todas las funciones reales, tendría $\aleph_2$ porque vendría de $\aleph_{1}^{\aleph_1}$. Pero son conjuntos menos usuales.
En todo este proceso, podríais preguntaros si hay algún tamaño de infinito entre los naturales y los reales, es decir $\aleph_0$ < $\aleph_\frac{1}{2}$ < $\aleph_1$. Para ello habria que encontrar un conjunto, desde el cual no se pudiera hacer una aplicación biyectiva desde los naturales, y que a su vez, en este nuevo conjunto, no se pudiera crear una aplicación biyectiva con los reales. Este problema se llama hipótesis del continuo, y se demostró que no puede probarse, así que la vamos a dar por cierta porque tiene sentido que de los racionales a los reales no haya nada en medio (obviando que los irracionales trascendentes son equipotentes a los reales). Ya que darla por cierta o falsa no cambia la teoría, pero si nos ayuda a entender qué está ocurriendo
La suma numerable suele representarse así $\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} a_n$ pero claro, ya hemos visto, que el último número de los naturales no es el inifinto normal, es $\aleph$ alpeh, así que yo usaré la notación $\displaystyle \sum_{n=0}^{\aleph} a_n$ ó para evitar la controversia $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n$. Y si pensamos en sumas no numerables, de tamaño $\aleph_1$, es lo que nos lleva a hacer integrales en las funciones, y claro que existen, es por eso en mi opinión el que se use el símbolo de la S alargada $\int{}$ en vez de la S mayúscula griega $\sum{}$.
El casi infinito $\propto\,$ y el casi cero $\oslash$
El casi infinito es un número, que existe, y que es muy grande. Vamos, lo que todo el mundo entiende como infinito. Para aproximarnos más a la idea, es una forma de simbolizar el límite de un ordenador, el de una calculadora, o el límite humano. Lo bueno que tiene utilizar símbolos, es que no tienes que acarrear errores como si fuera análisis numérico porque utilizar este máximo o mínimo de forma simbólica, lo despejas, y finalmente, cuando ya te queda el resultado, lo sustituyes o aproximas.
Es super útil para la idea de límite, y permite resolver algebraicamente de una manera más intuitiva, como hacía Leibniz y Newton con sus diferenciales, solo que no es necesario que dependan de una variable, por eso no hay ninguna x de subíndice ni cerca de ellos. Eso sí, ambos están relacionados, como no podía ser de otra manera, como:
$$ \propto\, \equiv \frac{1}{\oslash}$$
Este casi infinito tiene un problema, que se puede expresar de forma sencilla, el casi infinito se puede aproximar por el infinito Si no es una indeterminación, y veamos porqué:
$$\oslash^{\oslash} = 1 \neq {0}^{0} = \infty$$
$$\frac{\oslash}{\oslash} = 1 \neq \frac{0}{0} = \infty$$
$$\frac{\propto\,}{\propto\,} = 1 \neq \frac{\infty}{\infty} = \infty$$
$$\oslash \cdot \propto\, = 1 \neq 0 \cdot \infty = \infty $$
$$\propto\, – \propto\, = 0 \neq \infty – \infty = \infty$$
Entonces, podemos hacer aproximaciones como $\propto\, \approx \infty$, $\oslash\, \approx 0$, pero no podemos aproximar indeterminaciones de casi infinitos hasta que no dejen de ser indeterminaciones, porque estaríamos comentiendo un error de aproximación muy grande.
Esto ayuda a hacer los límites de manera más intuitiva, como se hacían en los tiempos de Fermat, pero sin entrar a lo mejor en términos oscuros como infinitésimos, o cantidades evanescentes. Que en mi opinión son oscuras porque no dicen porqué se aproximan, ni cómo se manejan, además de que dependen de la variable x cuando es algo independiente de la variable, que se usa de otra forma, a pesar de que venga del límite del incremento, tiene que renacer con un significado más actual.