Propiedades de los Intervalos
Los intervalos de por sí al mezclar las operaciones de unión e intersección cumplen estas propiedades
| Propiedad: | Unión | Intersección |
|---|---|---|
| Asociativa | $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ | $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ |
| Conmutativa | $A \cap B = B \cap A$ | $A \cap B = B \cap A$ |
| Idempotente | $A \cup A = A$ | $A \cap A =A$ |
| Absorción | $A \cup (B \cap A) = A$ | $A \cap (A \cup B) = A$ |
| Distributiva | $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ | $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ |
El complementario y la diferencia de intervalos
En estos conceptos se añaden dos conjuntos que son muy importantes. El total que es $\mathbb{R}$, y el conjunto vacío $\empty$. El complementario de un intervalo son los números reales $\mathbb{R}$ que no están en el intervalo, es decir,
$$\overline{A} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \not\in A \}$$
A efectos de los pueden pasar 3 casos, en los que siempre el extremo que sea abierto se convertirá en cerrado y viceversa:
- $\overline{(a,\,b]} = (-\infty ,\, a] \cup (b,\, +\infty )$
- $\overline{(-\infty,\,b]} = (b,\, +\infty]$
- $\overline{(a,\, +\infty]} = (-\infty,\,a]$
El complementario tiene las siguientes propiedades:
- $\displaystyle \overline{\, \overline{A} \, } = A$
- $\overline{\mathbb{R}} = \empty$ , y $\ \overline{\empty} = \mathbb{R}$
- $A \cap \overline{A} = \empty$, y $\ A \cup \overline{A} = \mathbb{R}$
Además cumplen dos propiedades que se utilizan mucho que se le atribuyen al matemático Augustus De Morgan (India, $\approx$ 1840) son las conocidas Leyes de De Morgan:
$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \\ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$
Un concepto parecido es la diferencia entre dos intervalos, donde se quitan del primer intervalo los elementos comunes del segundo. En algunos textos se utiliza el signo $-$ menos normal, pero como ese signo tiene un significado distinto para algunas circunstancias, usaremos el signo de resta de conjuntos $\smallsetminus$ para indicar su resta, definiéndose así:
$$ A \smallsetminus B = \{x \in A \mid x \not\in B \}$$
Ambos conceptos está estrechamente relacionados, ya que:
$$A \smallsetminus B = A \cap \overline{B} \\ \overline{A} = \mathbb{R} \smallsetminus A$$
Intervalos Disjuntos
Se pueden definir dos relaciones más entre intervalos, y es que se dicen que dos intervalos son disjuntos si no coinciden en níngún elemento, es decir, $ A \cap B = \empty$
La relación que guarda con las otras propiedades además de su definición, es que si dos conjuntos son disjuntos: $A \smallsetminus B = A$ y viceversa.
Subintervalos
Se dice que un itnervalo B es subintervalo de otro A si el segundo contiene a todos los elementos del primero:
$$ B \subseteq A \ \Longleftrightarrow \ ( \forall b \in B \Rightarrow b \in A) $$
Teniendo dos intervalos $(a,b)$ y $(c,d)$ se cumple que el segundo es subconjunto de otro si c es mayor que a, y d es menor que b, es decir:
$$(c, d) \subseteq (a,b) \ \Longleftrightarrow \ (c \geq a \ \wedge \ d \leq b )$$
Las propiedades que se sacan de un conjunto que es subconjunto de otro son las siguientes. Sea $ B \subseteq A$ entonces
- $A \cup B = A$
- $A \cap B = B$
- $B \smallsetminus A = \empty$