Inecuaciones – Intervalos

Las inecuaciones se despejan prácticamente igual que las ecuaciones, salvo contadas excepciones, y la solución en ver de ser un único punto es un conjunto de valores. Estos valores que son la solución se expresan mediante intervalos, que nos indican el comienzo y el fin de las soluciones.

Se distingue de distinta manera si el intervalo contiene al extremo (y se le llamará cerrado), o si el extremo no forma parte de la solución (abierto).

Un extremo es cerrado, es porque contiene al punto, y se representa en la ecuación con los símbolos $\leq \ \geq$, en los intervalos con corchetes $[,]$ y en la representación con un punto relleno $\bullet$.

De forma contraria, un extremo abierto se representará mediante $\lt \ \gt$, paréntesis $(,)$ y un punto hueco $\circ$.

Inecuación	Intervalo	Representación
$x \leq 3$	$(-\infty,\, 3]$
$x \lt 3$	$(-\infty,\, 3)$
$x \geq -2$	$[-2, \, \infty)$
$x \gt -2$	$(-2 ,\, \infty)$
$-2 \leq x \leq 3$	$[-2 ,\, 3]$
$-2 \leq x \lt 3$	$[-2 , \, 3)$
$-2 \lt x \leq3$	$(-2 ,\, 3]$
$-2 \lt x \lt 3$	$(-2 ,\, 3)$

Como se observa en la tabla siempre se pone el símbolo en la dirección de menor o menor igual qué en los intervalos que tienen dos extremos reales, que se llaman intervalos acotados.

La intención de las inecuaciones es que a partir de una expresión compleja se pueda obtener un único intervalo. Y la resolución sigue los mismos pasos que las ecuaciones, sólo que cuando se pasa multiplicando o dividiendo un número negativo, el símbolo de la desigualdad cambia de dirección, al igual ocurre si invertimos el resultado, veámoslo con estos ejemplos:

1. Ejercicios de Inecuaciones

1. Unión e Inersección de Intervalos

El siguiente paso en el manejo de inecuaciones, es mezclarlas entre sí, uniéndolas, que representa añadir todos los puntos buscando aumentar el tamaño del intervalo, y intersecar, que es quedarse con los números que tienen en común.

La unión se indica con el símbolo $\cup$ que se parece a la u de unión (para recordarlo). El procedimiento lógico-matemático para calcularla es el siguiente, aunque cuando se entiende con los dibujos es intuitivo, se deja la definición por si surjen dudas:

Sea el intervalo $\lgroup a,\,b \rgroup$ y el $\lgroup c,\,d \rgroup$, indicando con los símbolos $\lgroup, \rgroup$ que puede ser abierto o cerrado.

• Calculamos el ínfimo como $i = mín\{a,c\}$
• Calculamos el supremo como $s = máx\{b,d\}$
• Dependiendo de los valores de $i$ y $s$ tenemos tres prosibles resultados
• $i \lt s \ $ Si el ínfimo es menor que el supremo queda $\lgroup i ,\, s \rgroup$
• $i \gt s \ $ Si el ínfimo es mayor que el supremo, la unión se deja sin resolver quedando $\lgroup a,\,b \rgroup \cap \lgroup c,\,d \rgroup$
• $i = s \ $ Si el ínfimo o el supremo tienen algún extremo cerrado, se qeuda la unión completa $\lgroup i ,\, s \rgroup$, si los dos son abiertos se indica que falta el punto de unión con la unión $\lgroup a,\,b \rgroup \cap \lgroup c,\,d \rgroup$

La intersección se indica con el símbolo $\cap$ que se parece a la n de intersección (para recordarlo). Hay una fórmula para calcularla, que consiste en lo siguiente.

• Calculamos el ínfimo como $i = máx\{a,c\}$
• Calculamos el supremo como $s = mín \{b,d\}$
• Dependiendo de los valores de $i$ y $s$ tenemos tres prosibles resultados
• $i \lt s \ $ Si el ínfimo es menor que el supremo queda $\lgroup i ,\, s \rgroup$
• $i \gt s \ $ Si el ínfimo es mayor que el supremo, la intersección es el conjunto vacío $\empty$, es decir, que no hay números en común
• $i = s \ $ Si el ínfimo es igual al supremo y los números de la solución están los dos en extremos cerrados, entonces la solución es sólo ese punto $\{i\} = \{s\}$, pero con que un sólo extremo solución sea abierto, sea la solución vuelve a ser el conjunto vacío $\empty$

2. Ejercicios de Intervalos