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√2 Apuntes

Apuntes ESO, Bachiller y PAU

Relaciones entre Vectores R³

Ahora que se sabe cómo operar, se pueden empezar a buscar relaciones entre los vectores.

Módulo

Para medir la distancia de un vector se utiliza el teorema de pitágoras, y la distancia que mide el vector se le llama módulo:

$$ |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$$

Perpendicularidad

Dos vectores son perpendiculares $\vec{u} \perp \vec{v}$ si su producto escalar es cero, y se escribe así:

$$\vec{u} \perp \vec{v} \ \Leftrightarrow \ \vec{u} \bullet \vec{v} = 0$$

Proporcionalidad

Dos vectores son proporcionales $\vec{u} \propto \vec{v}$ si son proporcionales coordenada a coordenada:

$$\vec{u} \propto \vec{v} \ \Leftrightarrow \ \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3} $$

Ángulo entre dos vectores

$$\alpha = arc\, cos \frac{\vec{u} \bullet \vec {v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

Área del paralelogramo formado por dos vectores

$$Área (\vec{u}, \vec{v}) = | \vec{u} \times \vec{v}|$$

Obtener un vector unitario

A partir de un vector cualquiera, mantenemos su dirección y sentido, pero lo reducimos/extendemos hasta que tenga tamaño 1, y se le pone un gorrito al vector:

$$ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$

Obtener un vector perpendicular a a partir de otro

En el espacio hay infinitos vectores perpendiculares, a uno dado, pero 3 fáciles y útiles de usar es hacer el producto vectorial con la base canónica $\hat{i} = (1, 0, 0)$, $\hat{j} = (0, 1, 0)$, $\hat{k} = (0, 0, 1)$.

$$\vec{v}^\perp_x = \vec{v} \times \hat{i} = (0, -v_3, v_2) \\
\vec{v}^\perp_y = \vec{v} \times \hat{j} = (-v_3, 0, v_1) \\
\vec{v}^\perp_z = \vec{v} \times \hat{k} = (-v_2, v_1, 0) $$

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