Operaciones con Vectores R³

Dos vectores se pueden sumar y restar como se espera:

$$(1,2,3) + (4,5,6) = (5,7,9) \\ (4,5,6) – (1,2,3) = (3,3,3)$$

Se pueden multiplicar y dividir por un número como si de la propiedad distributiva se tratara:

$$3 \cdot (1,2,3) = (3,6,9) \\ \frac{(2,4,6)}{2} = (1, 2, 3)$$

Y además tres productos:

Producto Escalar

También llamado producto punto, mezcla dos vectores en un sólo número que tiene unas propiedades geométricuas muy útiles, y se realiza así:

$$(1,2,3) \bullet (4,5,6) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$

Producto Vectorial

Obtenemos a partir de dos vectores otro proporcional a los dos primeros que es perpendicular a estos, se obtiene a partir de un determinante, que se realiza según esta fórmula:

$$ (1,2,3) \times (4,5,6) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \\ = (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5 , \, 3 \cdot 4 – 1 \cdot 6 ,\, 1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) = (-3, 6, -3)$$

Producto Mixto

Calcula el área del paralelepípedo formado por los tres vectores que están involucrados:

$$ [(-1,2,3),\, (4,-5,6) ,\, (7,8,-9)] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & -5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix} = \\ = (-1) \cdot (-5) \cdot (-9) + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 \, – \, [ (-1) \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot (-9) + 3 \cdot (-5) \cdot 7 ] = \\ = 135 – (-225) = 360 $$

1. Ejercicios de Operaciones de vectores