El estudio de los cuerpos y su movimiento en el espacio usando números y operaciones algebraicas es el inicio de la geometría analítica. Un cuerpo es un objeto físico que se caracteriza por tener masa y volumen, y en este caso, también una posición. Hay una paradoja al querer representar cosas en movimiento sobre el papel, y es que no son un ordenador o una televisión donde vemos cómo se mueven los objetos.
Así que basado en esa limitación, no se puede narrar en presenta por donde se desplaza un objeto, sino en pasado. Podemos decir qué trayectoria siguió, o por qué lugares pasó, y es dentro de estas posibilidades donde se desarrollan los dos elementos de representación en el espacio, los puntos que representan lugares concretos, y los vectores que los unen, que cuentan por dónde se desplazó un cuerpo.
Para ello también necesitamos un punto de referencia, lo que el observador considere que es lo más céntrico y estable, lo situaremos en el centro de todo lo que ocurra, y lo llamaremos origen de coordenadas, o mayúscula: $O = (0,0,0)$.
Las operaciones con puntos y vectores en el espacio extienden a las operaciones del plano, es decir, que son muy parecidas y se añaden unas pocas nuevas. Al espacio se le llama $\mathbb{R^3}$ porque tiene 3 coordenadas que toman valores reales, lo que se conoce como ancho $x$, largo $y$, y alto $z$. Y se representarán dichas coordenadas ordenadas y entre paréntesis $(x,y,z)$
Además los objetos se mueven sobre distintos lugares de referncia. Por ejemplo, si dibujamos en un plano nuestra casa y el instituto. Nuestra casa por se desde nos deplazamos a todas partes la situaríamos en el origen de coordenadas. Nosotros seremos el cuerpo que se desplaza, y el instituto será representado por un punto, al que llamaros $P=(p_1, \, p_2, \, p_3)$.
Cuando un cuerpo (nosotros) nos desplazamos de un lugar a otro, se repressenta por una flecha, que indica un desplazamiento de un cuepro que estaba en un sitio, hacia otro. Y a esa flecha se le llamará vector, y se indica con una flecha encima de la letra $\vec{v} = (v_1 ,\, v_2 ,\, v_3)$. Estos vectores en física se llaman fuerzas, pues indican aceleraciones que se le da a un objeto para que se desplace.
Para hacer un ejemplo más completo, vamos a añadir la casa de un amigo/a que llamaremos $Q=(q_1 ,\, q_2,\, q_3)$. Y si realizamos el recorrido de nuestra casa al instituto, de ahí a la casa de nuestro amigue, y luego de vuelta a casa, nos queda este dibujo:
Las fórmulas para calcular cada uno de los vectores son:
$\overrightarrow{PQ} = Q – P = (q_1 ,\, q_2,\, q_3) – (p_1, \, p_2, \, p_3) = (q_1 – p_1,\, q_2 – p_2,\, q_3 – p_3)$
$\overrightarrow{QO} = O – Q = (0 ,\, 0,\, 0) – (q_1 ,\, q_2,\, q_3) = (-q_1 ,\, -q_2,\, -q_3)$
Con este ejemplo podemos aprender qué se representa y cómo se representa los movimientos. Al fijar un origen de coordenadas, hemos situado la posición del instituto y de las casas en un sitio fijo, que no se mueve. La flecha nos indica que se mueve el edificio, que representa una localización, pues la posición de donde partimos es fija.
La flecha indica movimiento entra una posición y otra, pero lo que no se representa es a la persona que va andando de un lado para otro, pues al ser algo que se mueve se observan los hechos en pasado, es decir, alguien fue de su casa al instituto, no se puede representar como una película en movimiento porque en un examen a papel no puedes hacer animaciones.
Y finalmente, obtenemos una ecuacíón que va a mezclar los dos conceptos opuestos, las locaclizaciones y los desplazamientos entre ellas, es decir, los puntos y los vectores. Así que habrá dos tipos de estudio, el de puntos o conjuntos de puntos situados siguiendo un orden como rectas, o parábolas o cículos, que es más difícil. Y otro estudio paralelo de vectores como representación de fuerzas que desplazan a un cuerpo de una localización que es un comienzo más fácil y necesario para los lugares geométricos más adelante.