Sucesiones y Series Aritméticas

Las sucesiones son conjuntos ordenados de números, a los que les asignamos un número según su posición. Las primeras sucesiones que se aprenden son las tablas de multiplicar. Es un buen modelo para entender la notación en la que se colocan subíndices, por ejemplo, la tabla del 3:

$$\begin{matrix} {a_1 = 3 \\ a_2 = 6 \\ a_3 = 9 \\ a_4 = 12 \\ a_5 = 15 \\ \quad \ \ \vdots \\ a_n = 3n } \end{matrix} $$

Aparece una nueva fórmula en función de la posición ($a_n$) se llama término general, y uno de nuestros objetivos es obtenerlo para sucesiones que, como la tabla de multilpicar, van aumentando sumándole el mismo número siempre. El modelo de sucesion que vamos a estudiar es una tabla de multiplicar con algún número sumado, por ejemplo la tabla del 3 sumándole 1, quedaría:

$$\begin{matrix} {a_1 = 4 \\ a_2 = 7 \\ a_3 = 10 \\ a_4 = 13 \\ a_5 = 16 \\ \quad \ \ \vdots \\ a_n = 3n +
1} \end{matrix} $$

Sucesiones aritmética

Las sucesiones aritméticas son las que van sumando siempre el mismo número entre uno y otro ($d$), empezando en otro número ($a_1$), y para calcular el término general se utilizan las siguientes fórmulas en orden:

1ª ¿d? $a_q = a_p + d (q-p)$
2ª ¿$a_1$? $a_p = a_1 + d (p-1)$
3º ¿$a_n$? $a_n = a_1 + d (n-1)$

Con estas fórmulas podemos resolver los problemas de la forma:
Una serie aritmética tiene por tercer término 9 y por quinto término 17, calcula el término general.

Transformamos el enunciado en los datos que tenemos, $a_3 = 9,\, a_5 = 17,\, p=3,\, q=5$.

1º Calculamos la diferencia $d$
$$\begin{matrix} a_5 & \,=\, & a_3 + d (5 – 3) \\ 17 & = & 9 + 2d \\ 17 – 9 & = & 2d \\ d & = & \frac{8}{2} \\ d & = & 4 \end{matrix}$$

2º Calculamos el primer término $a_1$
$$\begin{matrix} a_3 & = & a_1 + d (3 – 1) \\ 9 & = & a_1 + 4 \cdot 2 \\ 9 & = & a_1 + 8 \\ 9-8 & = & a_1 \\ a_1 & = & 1 \end{matrix}$$

3º Finalmente calculamos el término general $a_n$
$$\begin{matrix} a_n & = & a_1 + d (n – 1) \\ a_n & = & 1 + 4 \cdot (n – 1) \\ a_n & = & 1 + 4n – 4 \\ a_n & = & 4n -3 \end{matrix}$$

1. Ejercicios de Sucesiones Aritméticas

Calcula el término general de

$a)\, a_3= 7 \, , \ a_5 = 15 \quad \quad \quad b)\, a_5 = -2 \, , \ a_9 = 10 \quad$

$c)\, a_{10} = 7 \, , \ a_{18} = 15 \quad \quad d)\, a_{25} = -7 \, , \ a_{40} = 23$

Series aritméticas

Las series son el estudio de sumas de elementos de una sucesion. Sera de interes aprender la formula que suma los primeros n terminos de una sucesion

$\displaystyle S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

$ = \frac{a_1 + a_1 + dn – d }{2} \cdot n =$

$ = S_n = a_1 \cdot n + d \frac{n (n-1)}{2}$

Asi se puede pedir ppara el ejercicio anteeior encuentra la suma de la sucesion, y calcula la suma para los primeros 20 terminos, quedando:

$$\begin{matrix} S_n & = & \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\ S_n & = & \frac{1 + 4n – 3}{2} \cdot n \\ S_n & = & \frac{4n-2}{2} \cdot n \\ S_n & = & 2n^2 -n \end{matrix}$$

Ahora a partir de este resultado podemos calcular la suma de los primeros 20 terminos

$$S_{20} = 2 (20)^2 – 20 = 380$$

2. Ejercicios de Series Aritméticas

Calcula de los ejercicios anteriores

$a)\, S_n \quad \quad b)\, S_{20}$

$c)\, S_{50} \quad \quad d)\, S_{100}$