Sucesiones Geométricas
Además de las sucesiones aritméticas, existen otras sucesiones muy importantes que son las gométricas. Al igual que las aritméticas, tienen 3 fórmulas con las que vamos a poder encontrar el término general que es lo que buscamos. Las geométricas se caracterizan porque entre un término y su siguiente siempre se multilplica por el mismo número, que llamaremos razon $r$
| 1ª | ¿r? | $a_q = a_p \cdot r^{q-p}$ |
| 2ª | ¿$a_1$? | $a_p = a_1 \cdot r^{p-1}$ |
| 3º | ¿$a_n$? | $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ |
Para un ejercicio que nos den dos términos, se obtiene el término general siguiendo los mismos pasos. Por ejemplo, si $a_3 = 24$ y $a_6 = 192$, aplicamos los pasos y resolvemos:
1º Calculamos $r$
$$\begin{matrix} a_6 & \,=\, & a_3 \cdot r^{6-3} \\ 192 & = & 24 r^3 \\ \frac{192} {24} & = & r^3 \\ r^3 & = & 8 \\ r & = & \sqrt[3]{8} \\ r & = & 2 \end{matrix}$$
2º Calculamos $a_1$
$$\begin{matrix} a_3 & \,=\, & a_1 \cdot r^{3-1} \\ 24 & = & a_1 2^2 \\ \frac{24} {4} & = & a_1 \\ a_1 & = & 6 \end{matrix}$$
3º Calculamos $a_n$
$$\begin{matrix} a_n & \,=\, & a_1 \cdot r^{n-1} \\ a_n & = & 6 \cdot 2^{n-1} \\ a_n & = & \frac{6}{2} \cdot 2^n \\ a_n & = & 3 \cdot 2^n \end{matrix}$$
1. Ejercicios de Sucesiones Geométricas
$a)\, a_3 = 54 \, , \ a_6 = 1458 \quad \quad \quad b)\, a_3 = -24 \, , \ a_6 = 192 \quad$
$\displaystyle c)\, a_4 = \frac{3}{16} \, , \ a_7 = \frac{3}{128} \quad \quad \quad d)\, a_{4} = \frac{5}{4} \, , \ a_7 = \frac{-5}{32} \quad $
Series Geométricas
También es interesante hallar la suma de los primeros términos, siendo la fórmula:
$$S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}$$
Para el ejemplo anterior, quedaría:
$$S_n = 6 \cdot \frac{1-2^n}{1-2} = 6 (2^n – 1)$$
Ademas la suma de los infinitos ($\aleph_1$) números de la sucesion dan un numero real siempre que $|r| \lt 1$, por ejemplo para $r=1/2$, se obtendria que $1/2^\infty = 0$ asi que
$$S_\infty = a_1 \cdot \frac{1}{1-r}$$
Para $a_n = 1 / 2^{n-1}$ la suma será
$$S_\infty = 1 \cdot \frac {1}{1 – 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$$
2. Ejercicios de Series Geométricas
$a)\, S_n \quad \quad b)\, S_{20}$
$c)\, S_{50} \quad \quad d)\, S_{\infty}$