Sucesiones y Series Geométricas

Sucesiones Geométricas

Además de las sucesiones aritméticas, existen otras sucesiones muy importantes que son las gométricas. Al igual que las aritméticas, tienen 3 fórmulas con las que vamos a poder encontrar el término general que es lo que buscamos. Las geométricas se caracterizan porque entre un término y su siguiente siempre se multilplica por el mismo número, que llamaremos razon $r$

1ª ¿r? $a_q = a_p \cdot r^{q-p}$
2ª ¿$a_1$? $a_p = a_1 \cdot r^{p-1}$
3º ¿$a_n$? $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Para un ejercicio que nos den dos términos, se obtiene el término general siguiendo los mismos pasos. Por ejemplo, si $a_3 = 24$ y $a_6 = 192$, aplicamos los pasos y resolvemos:

1º Calculamos $r$

$$\begin{matrix} a_6 & \,=\, & a_3 \cdot r^{6-3} \\ 192 & = & 24 r^3 \\ \frac{192} {24} & = & r^3 \\ r^3 & = & 8 \\ r & = & \sqrt[3]{8} \\ r & = & 2 \end{matrix}$$

2º Calculamos $a_1$

$$\begin{matrix} a_3 & \,=\, & a_1 \cdot r^{3-1} \\ 24 & = & a_1 2^2 \\ \frac{24} {4} & = & a_1 \\ a_1 & = & 6 \end{matrix}$$

3º Calculamos $a_n$

$$\begin{matrix} a_n & \,=\, & a_1 \cdot r^{n-1} \\ a_n & = & 6 \cdot 2^{n-1} \\ a_n & = & \frac{6}{2} \cdot 2^n \\ a_n & = & 3 \cdot 2^n \end{matrix}$$

1. Ejercicios de Sucesiones Geométricas

Calcula el término general de

$a)\, a_3 = 54 \, , \ a_6 = 1458 \quad \quad \quad b)\, a_3 = -24 \, , \ a_6 = 192 \quad$

$\displaystyle c)\, a_4 = \frac{3}{16} \, , \ a_7 = \frac{3}{128} \quad \quad \quad d)\, a_{4} = \frac{5}{4} \, , \ a_7 = \frac{-5}{32} \quad $

Series Geométricas

También es interesante hallar la suma de los primeros términos, siendo la fórmula:

$$S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}$$

Para el ejemplo anterior, quedaría:

$$S_n = 6 \cdot \frac{1-2^n}{1-2} = 6 (2^n – 1)$$

Ademas la suma de los infinitos ($\aleph_1$) números de la sucesion dan un numero real siempre que $|r| \lt 1$, por ejemplo para $r=1/2$, se obtendria que $1/2^\infty = 0$ asi que

$$S_\infty = a_1 \cdot \frac{1}{1-r}$$

Para $a_n = 1 / 2^{n-1}$ la suma será

$$S_\infty = 1 \cdot \frac {1}{1 – 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$$

2. Ejercicios de Series Geométricas

Calcula de los ejercicios anteriores cuando sea posible:

$a)\, S_n \quad \quad b)\, S_{20}$

$c)\, S_{50} \quad \quad d)\, S_{\infty}$