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√2 Apuntes

Apuntes ESO, Bachiller y PAU

Ecuaciones de segundo grado

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El siguiente paso para resolver ecuaciones después de las ecuaciones de primer grado son las de segundo grado. Así se les va a llamar a las ecuaciones que tengan al menos una $x^2$ al simplificarlas. De forma general van a ser de la forma:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

1. Ecuaciones de segundo grado con $b=0$ $\Rightarrow$ $(ax^2 + c = 0)$

Empezando de menos a más, hay que empezar memorizando el procedimiento:

$$x^2 – 9 = 0 \\ x^2 = 9 \\ \sqrt{x^2} = \sqrt{9} \\ |x| = 3 \\ x = \pm 3$$

Repite el procedimiento con los siguientes ejercicios

1.1 Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas

Calcula las ecuaciones anteriores con la siguiente información:

$a)\, x^2 – 4 = 0 \quad \quad \quad b)\, x^2 – 1 = 0 $

$c)\, x^2 – 16 = 0 \quad \quad \quad d)\, x^2 – 3 = 0$

El segundo paso es alargar este procedimiento al añadir más números:

$$2x^2 – 8 = 0 \\ 2x^2 = 8 \\ x^2 = \frac{8}{2} \\ x^2 = 4 \\ \sqrt{x^2} = \sqrt{4} \\ |x| = 2 \\ x = \pm 2$$

1.2 Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas

Calcula las ecuaciones anteriores con la siguiente información:

$a)\, 2x^2 – 18 = 0 \quad \quad \quad b)\, 3x^2 – 3 = 0 $

$c)\, 4x^2 – 1 = 0 \quad \quad \quad d)\, 5x^2 – 4 = 0$

Y por último presentarte a los números imaginarios. Se llaman números imaginarios a todos los números multiplicado por la unidad imaginaria $i$. Se define esta constante de forma sencilla como $i=\sqrt{-1}$, aunque siendo formales su definición es su propiedad principal $i^2 = -1$.

3 Ecuación de segundo grado completa $\Rightarrow$ $(ax^2 + bx + c = 0)$

La ecuación de segundo grado con todos sus coeficientes se suele resolver memorizando la conocida ecuación resolvente, que se calcula siguiendo unos pasos que suelen no enseñarse, pero que sin ellos hoy en día no habríamos podido resolver ese tipo de ecuaciones.

Demostración moderna de la Ecuación Resolvente

$$ax^2 + bx + c = 0 \\ ax^2 + bx = -c \\ \color{DarkGrey}{\text{Multiplicamos en ambos miembor por} \ 4a} \\ 4a^2x^2 + 4abx = -4ac \\ \color{DarkGrey}{\text{Sumamos en ambos miembros} \ b^2} \\ 4a^2x^2 + 4abx + b^2= b^2 – 4ac \\ \color{DarkGrey}{\text{Gracias a estos pasos podemos ajustar cuadrados}} \\ (2ax + b)^2 = b^2 – 4ac \\ |2ax + b| = \sqrt{b^2 – 4ac} \\ 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 – 4ac} \\ 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac} \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Historia de las Ecuaciones de Segundo grado

La resolución de ecuaciones de segundo grado tiene una larga historia hasta el procedimiento sencillo de hoy en día, como se puede leer en la wikipedia los babilónicos en el 2000 a.C. resolvieron algunos problemas cuadráticos, aunque no el caso general. Pitágoras (Grecia $\approx$500 a.C.) hizo un método gráfico que transcribió Euclides (Grecia $\approx$300 a.C.). Brahmagupta (India 628) es el primero que encuentra una de las soluciones. Al-Khwarizmi (Irak $\approx$810) encontró la fórmula para las dos soluciones, sin aceptar las complejas. Abū Kāmil (Egipto $\approx$1100) fue el primero en dar por válidas las soluciones complejas.

Por otra parte la llegada de estas ecuaciones a Europa sigue un camino largo, Abraham bar (España $\approx$1200) es el primero que la transcribe en Europa pero al Hebreo, Cardano (Italia 1545) es el primero en transcribirla al latín, Descartes (Francia 1637) le da nombre a $\sqrt{-1} = i$ como imaginario (influenciado por su filosofía), Euler (Suiza $\approx$1750) y Gaus ($\approx$1800) le dieron fama al nobre imaginario (así como al número $\pi$ y $\mathbb{e}$) y Henry Heaton ($\approx$1900) introduce la moderna notación de $\pm$ para convertirla en una única ecuación resolvente como la conocemos hoy en día.

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