Ecuaciones

Las ecuaciones nacen del Algebra, empezando con conceptos sencillos con una sola incognita, hasta introducir sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, de segundo grado y superiores, con raices, logaritmos, exponenciales y divisiones de polonomios

En esta primera pagina vamos a ver los conceptos mas simples, dejando una pagina para cada bloque importante de ecuaciones.

1. Orden de resolución de ecuaciones de primer grado

  1. Realizar las operaciones de simplificación evidentes (cuanta mas soltura tengamos mejor sabremos simplificar)
  2. Eliminar los paréntesis usando la propiedad distributiva. $k(ax+b) = kax + kb$
  3. Simplificar
  4. Quitar denominadores multiplicando por el mcm de estos (cuidado con los signos menos delante de una fracción, le cambian el signo a toda la fraccion)
  5. Simplificar
  6. Pasar sumando y/o restando dejando las incognitas a un lado y los coeficientes al otro
  7. Simplificar
  8. Pasar el termino que multiplica a la incógnita dividiendo al otro lado
  9. Simplificar

Para aprender todos estos pasos, hay q empezar de abajo a arriba como si construyéramos una casa

2. Lo que está multiplicando a la incógnita pasa dividiendo

Con matemáticas

$$\begin{matrix}2x = 6 \\ x =
\frac{6}{2}\\ x = 3 \end{matrix}$$

2. Ejercicios resuelos de ecuaciones de primer grado

$a)\ 3x = 12\quad \quad \quad b)\ 2x = 3$

$c)\ 5x = 2 \quad \quad \quad d)\ 6x = 2$

Soluciones

3. Las incógnitas a un lado y los coeficientes a otro

Se suele decir “lo que está sumando pasa restando” y “lo que está restando pasa sumando”, refiriéndose al cambiar los números de un lado a otro lado de la igualdad.

Con matemáticas:

$$\begin{matrix} 3x + 4 = 6 + 2x \\ 3x – 2x = 6 – 4 \\ x = 2 \end{matrix} \quad \quad \quad
\begin{matrix} x – 7 = 5 – 2x\\ x + 2x = 5 + 7 \\ 3x = 12 \\ x = \frac{12}{3} \\ x = 4 \end{matrix}$$

Esta regla enunciada asi plantea problemas cuando el elemento que queremos cruzar no tiene delante el signo de la suma, o es negativo. Pero se sobreentiende que se expande la regla y se cruza cambiándole de signo, dándole signo negativo cuando no tiene ninguno delante. Por ejemplo:

$$\begin{matrix} -2 + 3 x = x + 4 \\ 3x – x = 4 + 2 \\ 2x= 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \end{matrix}$$

3. Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

$a)\ x – 3 = 5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b)\ 2x = 3 + x$

$c)\ 2x + 3 + x – 5 = 0 \quad \quad \quad d)\ 3 – x = x – 7$

Soluciones

4. Quitar Paréntesis

Cuando se tienen ecuaciones con paréntesis, hay que tener mucho cuidado con el signo del número que está multiplicando delante. Aplicando la propiedad distributiva, y teniendo especial cuidado con los signos, se resuelve como en el ejemplo:

$$\begin{matrix}-2(3x-5) = -8 \\ -6x \textcolor{Red}{\textbf{+}} 10 = -8 \\ -6x = -8 -10 \\ -6x = -18 \\ x = \frac{-18}{-6} \\ x = 3\end{matrix}$$

4. Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con paréntesis

$a)\ 2(x-5) – 3(4-x) = -4(x+1)$

$b)\ 4(x – 3) – (3x – 5) = 2 (x+7) – 2 (x -3)$

Soluciones

5. Quitar Denominadores, Ecuaciones con Fracciones

Para quitar denominadores tenemos que realizar el mínimo común múltiplo de todos ellos, y multiplicar ambos miembros de la igualdad por éste. De forma que si dividimos primero y luego multiplicamos volvemos al paso de resolver ecuaciones con paréntesis, por ejemplo:

$$ \frac{x-3}{2} – \frac{x-4}{3} = 5 \\ \textcolor{DarkGrey} {mcm(2,3) = 6} \\ 6 \cdot \left( \frac{x-3}{2} – \frac{x-4}{3} \right) = ( 5 ) \cdot 6 \\ 3(x-3) – 2(x-4) = 30 \\ 3x – 9 – 2x \textcolor{Red}{\textbf{+}} 8 = 30 \\ x – 1 = 30 \\ x = 30 + 1 \\ x = 31 $$

5. Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con Denominadores

a)$\displaystyle \ \frac{2x-3}{4} – \frac{x+2}{3} = 3x+4 $

b)$\displaystyle \ \frac{ 2(x+1) }{3} – \frac{3(2x-3)}{4} = 2x+3 – \frac{5(x+3)}{6}$

Soluciones