Ecuaciones de la recta $\mathbb{R}^2$

Las ecuaciones de la recta en $\mathbb{R}^2$ parten de un vector director que apunta en la dirección que se recorre la recta, y un punto por el que pasa. Así llamaremos a dicho punto $P=(p_1,\, p_2)$ y al vector director $\vec{d}=(d_1,\, d_2)$.

Ecuación paramétrica (Vectorial)

Se llama parámetro a una variable que va a tomar un valor a conveniencia para dibujar la recta, por tradición se utiliza la letra griega l, que se pronuncia lambda $\lambda$. En otros textos también se usa la t. Siendo $X = (x,y)$ los puntos de la recta tenemos que:

$$X = P + \lambda \,\vec{d}$$

Expandiendo cada elemento en dos dimensiones, e igualando coordenada a coordenada, obtenemos la siguiente ecuación

$(x,y) = (p_1,\, p_2) + \lambda \, (d_1,\, d_2) = (p_1 + \lambda \, d_1,\, p_1 + \lambda \, d_1)$

Ecuación paramétrica

$$\begin{Bmatrix} x = p_1 + \lambda \, d_1 \\ y = p_2 + \lambda \, d_2 \end{Bmatrix} $$

Resolviendo el sistema de ecuaciones por igualación, obtenemos la ecuacíon continua

$$\begin{Bmatrix} \lambda = \frac{x – p_1}{d_1} \\ \lambda = \frac{y – p_2}{d_2} \end{Bmatrix} $$

Ecuación Continua

Es la favorita para usarse cuando te dan un punto y un vector director.

$$ \frac{x – p_1}{d_1} = \frac{y – p_2}{d_2} $$

También se utiliza cuando te dan dos puntos, siendo el segundo punto $Q = (q_1,\, q_2)$ tenemos:

$$ \frac{x – p_1}{q_1 – p_1} = \frac{y – p_2}{q_2 – p_2} $$

Esta ecuación da problemas cuando alguna de las coordenadas del vector director es cero, por lo que en ese caso se utiliza la forma:

$$ d_2 (x – p_1) = d_1 (y – p_2) $$

En este momento tenemos dos caminos posibles, y los dos nos van a dar ecuaciones interesantes, el primer camino es pasar restando lo que está sumando:

Esta segunda forma sólo se puede obtener desde donde estamos, la primera la obtendremos de manera más alegante después de desarrollar este segundo camino.

Ecuación Punto-Pendiente

Como el nombre indica, la ecuación nos sirve cuando nos dan un punto, y la pendiente de la recta. La pendiente de la recta es cuánto sube respecto a cada aumento de la coordenada x, se le da el nombre de $m$, y se obtiene de:

$$m = \frac{d_2}{d_1} = \frac{q_2 – p_2}{q_1 – p_1} $$

como $d_2$ es lo que sube y $d_1$ lo que avanza, su cociente es conocido en trigonometria como la tangente que forma la recta con el eje OX
$$m = tan \alpha = \frac{d_1}{d_2} $$

Quedando así la ecuación:

$$y – p_2 = m \, (x – p_1)$$

que si despejamos de forma que $y = mx – m\, p_1 + p_2$ obtenemos la siguiente ecuación

Ecuación Explícita

Se llama ordeanda en el origen (altura en el origen para los amigos) al valor $n$ en ecuación:

$$y = mx + n$$
Que cumple la propiedad de que siempre pasa por el punto $(0, n)$.

Para volver hacia la ecuación paramereica se sustotuye x o y por $\lambda$ y se despeja.

Ahora usaremos vectores normales en vez de directores, empezando de nuevo desde la ecuación vectorial paramétrica.

$$X – P = \lambda \, \vec{d}$$

1. Ejercicios de Ecuaciones de la Recta $\mathbb{R}^2$

Ecuación Normal (Vectorial)

Sea $\vec{n}$ un vector perpendicular a la recta tenemos

$$ \vec{n} \bullet (X – P) = 0 $$

Expresándlo coordenada a coordeanda e igualando obtenemos la siguiente, $(n_1 ,\, n_2) \bullet (x – p_1 ,\, y – p_2) = 0$

Ecuación Normal

Es la ecuación favorita cuando tenemo un punto y un vector normal:

$$ n_1 (x – p_1) + n_2 (y – p_2) = 0$$

Desarrollándola obtenemos un coeficiente nuevo, que al estar relacionado con la distancia de la recta al origen de coordenadas le pondremos una letra parecida a la d de destancia

Ecuación General

$$ n_1 x + n_2 y + d = 0$$

De la ecuación general es muy fácil pasar a la explicita y de ahí a la paramétrica para desarrollar las demas ecuaciones.

Para la ecuación continua si es mas rapido calcular $\vec{n}^\perp = \vec{d} = (-n_1,\, n_2)$ y coger un punto sustituyendo x o y por cero.

2. Ejercicios de Ecuaciones de la Recta $\mathbb{R}^2$