Las ecuaciones de la recta en $\mathbb{R}^2$ parten de un vector director que apunta en la dirección que se recorre la recta, y un punto por el que pasa. Así llamaremos a dicho punto $P=(p_1,\, p_2)$ y al vector director $\vec{d}=(d_1,\, d_2)$.
Ecuación paramétrica (Vectorial)
Se llama parámetro a una variable que va a tomar un valor a conveniencia para dibujar la recta, por tradición se utiliza la letra griega l, que se pronuncia lambda $\lambda$. En otros textos también se usa la t. Siendo $X = (x,y)$ los puntos de la recta tenemos que:
$$X = P + \lambda \,\vec{d}$$
Expandiendo cada elemento en dos dimensiones, e igualando coordenada a coordenada, obtenemos la siguiente ecuación
$(x,y) = (p_1,\, p_2) + \lambda \, (d_1,\, d_2) = (p_1 + \lambda \, d_1,\, p_1 + \lambda \, d_1)$
Ecuación paramétrica
$$\begin{Bmatrix} x = p_1 + \lambda \, d_1 \\ y = p_2 + \lambda \, d_2 \end{Bmatrix} $$
Resolviendo el sistema de ecuaciones por igualación, obtenemos la ecuacíon continua
$$\begin{Bmatrix} \lambda = \frac{x – p_1}{d_1} \\ \lambda = \frac{y – p_2}{d_2} \end{Bmatrix} $$
Ecuación Continua
Es la favorita para usarse cuando te dan un punto y un vector director.
$$ \frac{x – p_1}{d_1} = \frac{y – p_2}{d_2} $$
También se utiliza cuando te dan dos puntos, siendo el segundo punto $Q = (q_1,\, q_2)$ tenemos:
$$ \frac{x – p_1}{q_1 – p_1} = \frac{y – p_2}{q_2 – p_2} $$
Esta ecuación da problemas cuando alguna de las coordenadas del vector director es cero, por lo que en ese caso se utiliza la forma:
$$ d_2 (x – p_1) = d_1 (y – p_2) $$
En este momento tenemos dos caminos posibles, y los dos nos van a dar ecuaciones interesantes, el primer camino es pasar restando lo que está sumando:
$$ d_2 (x – p_1) – d_1 (y – p_2) = 0$$
Y el segundo pasar dividiendo el $d_1$
$$ \frac{d_2}{d_1 } (x – p_1) = y – p_2$$
Esta segunda forma sólo se puede obtener desde donde estamos, la primera la obtendremos de manera más alegante después de desarrollar este segundo camino.
Ecuación Punto-Pendiente
Como el nombre indica, la ecuación nos sirve cuando nos dan un punto, y la pendiente de la recta. La pendiente de la recta es cuánto sube respecto a cada aumento de la coordenada x, se le da el nombre de $m$, y se obtiene de:
$$m = \frac{d_2}{d_1} = \frac{q_2 – p_2}{q_1 – p_1} $$
como $d_2$ es lo que sube y $d_1$ lo que avanza, su cociente es conocido en trigonometria como la tangente que forma la recta con el eje OX
$$m = tan \alpha = \frac{d_1}{d_2} $$
Quedando así la ecuación:
$$y – p_2 = m \, (x – p_1)$$
que si despejamos de forma que $y = mx – m\, p_1 + p_2$ obtenemos la siguiente ecuación
Ecuación Explícita
Se llama ordeanda en el origen (altura en el origen para los amigos) al valor $n$ en ecuación:
$$y = mx + n$$
Que cumple la propiedad de que siempre pasa por el punto $(0, n)$.
Para volver hacia la ecuación paramereica se sustotuye x o y por $\lambda$ y se despeja.
Ahora usaremos vectores normales en vez de directores, empezando de nuevo desde la ecuación vectorial paramétrica.
Si tenemos un vector normal a la recta $\vec{n}$ se cumplirá que $ \vec{n} \bullet \vec{d} = 0$, multiplicando la ecuación vectorial reescrita así, obtendremos la siguiente ecuación:
$$X – P = \lambda \, \vec{d}$$
1. Ejercicios de Ecuaciones de la Recta $\mathbb{R}^2$
$a)\, P=(0,1),\ \vec{d} = (2,3) \quad \quad \quad b)\, P=(0,1),\ m = 2\quad$
$c)\, m=2,\ n=3 \quad \quad \quad \quad \quad \quad d)\, P=(2,3),\ \vec{d} = (1,0) $
Ecuación Normal (Vectorial)
Sea $\vec{n}$ un vector perpendicular a la recta tenemos
$$ \vec{n} \bullet (X – P) = 0 $$
Expresándlo coordenada a coordeanda e igualando obtenemos la siguiente, $(n_1 ,\, n_2) \bullet (x – p_1 ,\, y – p_2) = 0$
Ecuación Normal
Es la ecuación favorita cuando tenemo un punto y un vector normal:
$$ n_1 (x – p_1) + n_2 (y – p_2) = 0$$
Desarrollándola obtenemos un coeficiente nuevo, que al estar relacionado con la distancia de la recta al origen de coordenadas le pondremos una letra parecida a la d de destancia
Ecuación General
$$ n_1 x + n_2 y + d = 0$$
De la ecuación general es muy fácil pasar a la explicita y de ahí a la paramétrica para desarrollar las demas ecuaciones.
Para la ecuación continua si es mas rapido calcular $\vec{n}^\perp = \vec{d} = (-n_1,\, n_2)$ y coger un punto sustituyendo x o y por cero.
2. Ejercicios de Ecuaciones de la Recta $\mathbb{R}^2$
$a)\, P=(0,1),\ \vec{n} = (2,3) \quad \quad \quad b)\, P=(0,1),\ m = 2\quad$
$c)\, m=2,\ n=3 \quad \quad \quad \quad \quad \quad d)\, d=5,\ \vec{n} = (1,2) $