Temas
Ley de Gravitación Universal: fuerza gravitatoria. Campo gravitatorio. Intensidad del campo gravitatorio. Campos de fuerza conservativos. Potencial gravitatorio. Relación entre energía y movimiento orbital.
Criterios de evaluación
– Asociar el campo gravitatorio a la existencia de masa y caracterizarlo por la intensidad del campo y el potencial.
– Reconocer el carácter conservativo del campo gravitatorio por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial gravitatorio.
– Interpretar variaciones de energía potencial y el signo de la misma en función del origen elegido.
– Aplicar el principio de conservación de la energía y justificar las variaciones energéticas de un cuerpo en movimiento en el seno de campos gravitatorios.
– Relacionar el movimiento orbital de un cuerpo con el radio de la órbita y la masa generadora del campo.
– Conocer la importancia de los satélites artificiales de comunicaciones, GPS y meteorológicos y las características de sus órbitas.
Comentarios
– Los problemas se limitarán, como máximo, a la acción de dos masas sobre una tercera, aplicando el principio de superposición y prestándose especial atención al correcto tratamiento de las magnitudes vectoriales.
– Las cuestiones referentes a fuerzas conservativas y energía potencial versarán sobre: la independencia del trabajo de la trayectoria; la equivalencia entre trabajo de una fuerza conservativa y diferencia de energía potencial; la idea de que lo que realmente tiene significado físico es la diferencia de energía potencial entre dos puntos. Se prestará especial interés a la comprensión del concepto de energía potencial en general, aplicable a cualquier fuerza conservativa.
– Se podrán formular problemas en los que deban realizarse balances energéticos que incluyan energías potenciales gravitatorias.
– Las cuestiones acerca del campo gravitatorio de una masa puntual se limitarán a su expresión, características y dimensiones.
– Al formular cuestiones o problemas acerca de la relación entre campo y potencial no se requerirá, en ningún caso, la utilización del concepto de gradiente. Dado el carácter central de la interacción gravitatoria, la relación entre campo y potencial gravitatorios puede limitarse a una descripción unidimensional.
– No se exigirá la deducción de la expresión del campo gravitatorio terrestre.
– Los problemas referentes a movimiento de cuerpos en las proximidades de la superficie terrestre se limitarán a casos sencillos (cuerpos apoyados sobre superficies con o sin rozamiento). Se podrá requerir la representación en un esquema de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
– Los problemas podrán referirse a movimiento de planetas y satélites artificiales, limitándose al caso de órbitas circulares, velocidad orbital y velocidad de escape
2018 Jun A 1
a) Si la masa y el radio de la Tierra se duplican, razone si las siguientes afirmaciones son correctas:
(i) El periodo orbital de la Luna se duplica;
(ii) su velocidad orbital permanece constante.
b) La masa de Marte es aproximadamente la décima parte de la masa de la Tierra y su radio la mitad del radio terrestre. Calcule cuál sería la masa y el peso en la superficie de Marte de una persona que en la superficie terrestre tuviera un peso de 700 N.
$g_T = 9,8 m s^{-2}$
a)
(i)
Considerando que la distancia de la Luna a la Tierra $r$ no varía, el radio de la Tierra y la Luna no produce un cambio en el periodo, y teniendo en cuenta la ecuación el periodo:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$$
Para el doble de masa de la tierra obtenemos
$\displaystyle T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G\cdot 2 M_T}} = $ $\displaystyle \frac{T}{\sqrt{2}}$
Por lo que no se duplica, sino que se reduce en $\sqrt{2}$
(ii) De manera análoga, siendo la ecuación de la velocidad orbital
$$v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
Para el doble de distancia tenemos $\displaystyle v_2 = \sqrt{\frac{G\cdot 2M}{r}} = $ $\sqrt{2} v$
Por lo que no se mantiene constante, sino que aumenta en $\sqrt{2}$
b)
El peso de $700 N = m \cdot g$ nos permite hayar su masa:
$\displaystyle m = \dfrac{F}{g} = \dfrac{700 N}{9,8 m/s^2} = 71,43 kg$
Ya que la gravedad de la tierra se obtiene de la fórmula:
$$g_T = \frac{GM_T}{r_T^2} = 9,8 m/s^2$$
Podemos deducir la de marte como $\displaystyle g_M = \frac{G M_T/10}{(r_T/2)^2} = $ $\displaystyle \frac{4}{10} g_T =$ $ 0,4 \cdot 9,8 m/s^2 = 3,92 m/s^2$
Una vez hayado estos datos, es inmediato calcular el peso en Marte ya que:
$P_M = m \cdot g_M = $ $71,43 kg \cdot 3,92 m/s^2 = 280 N$
2018 Jun B 1
a) Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Cómo cambiaría su velocidad orbital si la masa de la Tierra se duplicase, manteniendo constante su radio? ¿Y su energía mecánica?
b) Se desea situar un satélite de 100 kg de masa en una órbita circular a 100 km de altura alrededor de la Tierra.
(i) Determine la velocidad inicial mínima necesaria para que alcance dicha altura;
(ii) una vez alcanzada dicha altura, calcule la velocidad que habría que proporcionarle para que se mantenga en órbita.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2};\ M_T = 5,98·10^{24} kg;\ R_T = 6\,370 km $
a)
Siendo la velocidad orbital:
$$v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
Para el doble de masa nos queda $\displaystyle \sqrt{\frac{G \cdot 2M}{r}} = \sqrt{2}\, v_{orb}$
Y siendo la energía mecánica:
$$E = \frac{1}{2} m v_{orb}^2 = \frac{G Mm}{2r}$$
Para el doble de masa tenemos $\displaystyle \sqrt{\frac{G \cdot 2M m}{2r}} = 2 E$, que se duplica.
b)
(i)
Aplicando el principio de conservació de la Energía ($E_1 = E_2$) y dando por hecho que el cohete despega desde la superficie de la tierra a distancia $R_T$ del centro, y que la velocidad mínima sería la que permite alcanzar la altura subiendo solo en vertical y llegando a al altura de la órbita $h = 100km$ a velocidad cero, tenemos
$\displaystyle -\frac{GMm}{R_T} + \frac{1}{2} mv^2 = -\frac{GMm}{R_T + h} + 0 $
$\displaystyle \frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R_T} -\frac{GMm}{R_T + h} $
$\displaystyle v^2 = 2\frac{GMm}{m} \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{R_T + h} \right)$
$\displaystyle v = \sqrt{ 2 GM \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{R_T + h} \right)}$
$\displaystyle v = \sqrt{ 2 \cdot 6,67 \cdot 10 ^-{11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6,37\cdot 10^6} – \frac{1}{6,37\cdot 10^6 + 10^5} \right)}$
$v = 1392,2 m/s^2$
(ii)
Para que se mantenga en órbita, su velocidad orbital debería de ser:
$\displaystyle v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{R_t + h}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10 ^-{11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^6 + 10^5}} =$ $7851,5 m/s$
2018 Sup Jun A 1
a) Fuerzas conservativas y energía potencial. Ponga un ejemplo de fuerza conservativa y otro de fuerza no conservativa.
b) Dos masas puntuales $m_1 = 2 kg$ y $m_2 = 3 kg$ se encuentran situadas respectivamente en los puntos $(0,2) m$ y $(0,-3) m$. Calcule el trabajo necesario para trasladar una masa $m_3 = 1 kg$ desde el punto $(0,0)$ m al punto $(1,0) m$.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2}$
a)
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida por la partícula cuando se mueve de un punto a otro. Ejemplos de fuerzas conservativas son la gravitatoria y la elástica y de fuerza no conservativa es el rozamiento.
La energía potencial es la energía almacenada mediante un trabajo conservativo, que puede ser transformada en otros tipos de energía como la cinética o la elástica. Así la energía potencial se relaciona con el trabajo de una fuerza conservativa como $W = -\Delta U$
b)
Para calcular el trabajo realizado en esta fuerza conservativa usamos $W = -\Delta U = m -\Delta V$ con $V = -\frac{G m}{r}$
Para calcular cada una de las distanciar $r_i$ entre la masa que se desplaza y las demás calculamos los módulos de cada uno de las posiciones, para ello nos ayudará darle nombre a los puntos $A=(0,2)m$, $B=(0,-3)m$, $O=(0,0)m$, $C=(1,0)$
$\vec {r_{OA}} = A – O = (0, 2) – (0, 0) = (0, 2)m$
$\vec {r_{OB}} = B – O = (0, -3) – (0, 0) = (0, -3)m$
$\vec {r_{CA}} = A – C = (0, 2) – (1, 0) = (-1, 2)m$
$\vec {r_{CB}} = B – C = (0, -3) – (1, 0) = (-1, -3)m$
${r_{OA}} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
${r_{OB}} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$
${r_{CA}} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
${r_{CB}} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$
$\displaystyle V_O = \frac{G m_1}{r_{OA}} + \frac{G m_2}{r_{OB}}$
$\displaystyle V_C = \frac{G m_1}{r_{CA}} + \frac{G m_2}{r_{CB}}$
$\displaystyle W = m (-\Delta V) = m (V_0 – V_C)$
2018 Sup Jun B 1
a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. ¿Cuál es mayor, la velocidad orbital de un satélite de 2000 kg o la de otro de 1000 kg? Razone sus respuestas.
b) Un satélite de masa $2·10^3 kg$ describe una órbita circular de 5500 km en torno a la Tierra. Calcule:
(i) La velocidad orbital
(ii) La velocidad con que llegaría a la superficie terrestre si se dejara caer desde esa altura con velocidad inicial nula.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2};\ M_T = 5,98·10^{24} kg;\ R_T = 6\,370 km $
2018 Sep A 1
a) Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas:
(i) Sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo;
(ii) Si sobre una partícula únicamente actúan fuerzas conservativas la energía cinética de la partícula no varía.
b) En la superficie de un planeta de 2000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de $3 m s^{-2}$. Calcule:
(i) La masa del planeta;
(ii) La velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2}$
2018 Sep B 1
a) Dibuje las líneas de campo gravitatorio de dos masas puntuales de igual valor y separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto donde la intensidad de campo gravitatorio se anula? ¿Y el potencial gravitatorio? Razone sus respuestas.
b) Dos masas iguales de 50 kg se sitúan en los puntos A (0,0) m y B (6,0) m. Calcule:
(i) El valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto P (3,3) m;
(ii) Si situamos una tercera masa de 2 kg en el punto P, determine el valor de la fuerza gravitatoria que actúa sobre ella.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2}$
2018 Sup Sep A 1
a) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes frases:
(i) La energía cinética y potencial toman siempre valores
positivos
(ii) En un campo gravitatorio una masa en reposo comienza a moverse hacia donde su energía potencial disminuye.
b) Un objeto de 2 kg con una velocidad inicial de 5 m s-1 se desplaza 20 cm por una superficie horizontal para, a continuación, comenzar a ascender por un plano inclinado 30º. El coeficiente de rozamiento entre el objeto y ambas superficies es 0,1. Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el objeto en ambas superficies y calcule la altura máxima que alcanza el objeto mediante consideraciones energéticas.
$g = 9,8 m s^{-2}$
2018 Sup Sep B 1
a) Defina velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión.
b) Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de $7,5·10^3 m s^{-1}$. Calcule:
(i) El radio de la órbita
(ii) La energía potencial del satélite;
(iii) La energía mecánica del satélite.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2};\ M_T = 5,98·10^{24} kg;\ R_T = 6\,370 km $
2018 ResA A 1
a) ¿A qué altura de la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha superficie? Exprese el resultado en función del radio de la Tierra $R_T$.
b) Sabiendo que el radio de Marte es 0,531 veces el radio de la Tierra y que la masa de Marte es 0,107 veces la masa de la Tierra. Determine:
(i) El valor de la gravedad en la superficie de Marte;
(ii) El tiempo que tardaría en llegar al suelo una piedra de 1 kg de masa que se deja caer desde una altura de 10 m sobre la superficie de Marte.
$G = 6,67·10^{-11} N m^2 kg^{-2};\ M_T = 5,98·10^{24} kg;\ R_T = 6\,370 km $
2018 ResA B 1
a) Indique las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales.
b) Un cuerpo de 20 kg de masa se encuentra inicialmente en reposo en la parte más alta de una rampa que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El cuerpo desciende por la rampa recorriendo 15 m, sin rozamiento, y cuando llega al final de la misma recorre 20 m por una superficie horizontal rugosa hasta que se detiene. Calcule el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal haciendo uso de consideraciones energéticas.
$g = 9,8 m s^{-2}$
2018 ResB A 1
a) Para calcular la energía potencial gravitatoria se suelen utilizar las fórmulas $E_p = mgh$ y $E_p = -G \frac{Mm}{r}$. Indique la validez de ambas expresiones y dónde se sitúa el sistema de referencia que utiliza cada una de ellas.
b) Sobre un bloque de 10 kg, inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal rugosa, se aplica una fuerza de 40 N que forma un ángulo de 60º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie vale 0,2. Realice un esquema indicando las fuerzas que actúan sobre el bloque y calcule la variación de energía cinética del bloque cuando éste se desplaza 0,5 m.
$g = 9,8 m s^{-2}$
2018 ResB B 1
1. a) Un bloque de masa m tiene un peso P sobre la superficie terrestre. Indique justificadamente cómo se modificaría el valor de su peso en los siguientes casos:
(i) Si la masa de la Tierra se redujese a la mitad sin variar su radio
(ii) Si la masa de la Tierra no variase pero su radio se redujese a la mitad.
b) Un bloque de 1 kg de masa asciende por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. La velocidad inicial del bloque es de 10 m s-1 y el coeficiente de rozamiento entre las superficies del bloque y el plano inclinado es 0,3. Determine mediante consideraciones energéticas:
(i) La altura máxima a la que llega el bloque
(ii) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
$g = 9,8 m s^{-2}$