Interacción Gravitatoria

Temas

Ley de Gravitación Universal: fuerza gravitatoria. Campo gravitatorio. Intensidad del campo gravitatorio. Campos de fuerza conservativos. Potencial gravitatorio. Relación entre energía y movimiento orbital.

Criterios de evaluación

– Asociar el campo gravitatorio a la existencia de masa y caracterizarlo por la intensidad del campo y el potencial.
– Reconocer el carácter conservativo del campo gravitatorio por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial gravitatorio.
– Interpretar variaciones de energía potencial y el signo de la misma en función del origen elegido.
– Aplicar el principio de conservación de la energía y justificar las variaciones energéticas de un cuerpo en movimiento en el seno de campos gravitatorios.
– Relacionar el movimiento orbital de un cuerpo con el radio de la órbita y la masa generadora del campo.
– Conocer la importancia de los satélites artificiales de comunicaciones, GPS y meteorológicos y las características de sus órbitas.

Comentarios

– Los problemas se limitarán, como máximo, a la acción de dos masas sobre una tercera, aplicando el principio de superposición y prestándose especial atención al correcto tratamiento de las magnitudes vectoriales.
– Las cuestiones referentes a fuerzas conservativas y energía potencial versarán sobre: la independencia del trabajo de la trayectoria; la equivalencia entre trabajo de una fuerza conservativa y diferencia de energía potencial; la idea de que lo que realmente tiene significado físico es la diferencia de energía potencial entre dos puntos. Se prestará especial interés a la comprensión del concepto de energía potencial en general, aplicable a cualquier fuerza conservativa.
– Se podrán formular problemas en los que deban realizarse balances energéticos que incluyan energías potenciales gravitatorias.
– Las cuestiones acerca del campo gravitatorio de una masa puntual se limitarán a su expresión, características y dimensiones.
– Al formular cuestiones o problemas acerca de la relación entre campo y potencial no se requerirá, en ningún caso, la utilización del concepto de gradiente. Dado el carácter central de la interacción gravitatoria, la relación entre campo y potencial gravitatorios puede limitarse a una descripción unidimensional.
– No se exigirá la deducción de la expresión del campo gravitatorio terrestre.
– Los problemas referentes a movimiento de cuerpos en las proximidades de la superficie terrestre se limitarán a casos sencillos (cuerpos apoyados sobre superficies con o sin rozamiento). Se podrá requerir la representación en un esquema de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
– Los problemas podrán referirse a movimiento de planetas y satélites artificiales, limitándose al caso de órbitas circulares, velocidad orbital y velocidad de escape

a)

  (i)

Considerando que la distancia de la Luna a la Tierra $r$ no varía, el radio de la Tierra y la Luna no produce un cambio en el periodo, y teniendo en cuenta la ecuación el periodo: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$$ Para el doble de masa de la tierra obtenemos
$\displaystyle T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G\cdot 2 M_T}} = $ $\displaystyle \frac{T}{\sqrt{2}}$
Por lo que no se duplica, sino que se reduce en $\sqrt{2}$

  (ii) De manera análoga, siendo la ecuación de la velocidad orbital $$v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ Para el doble de distancia tenemos $\displaystyle v_2 = \sqrt{\frac{G\cdot 2M}{r}} = $ $\sqrt{2} v$
Por lo que no se mantiene constante, sino que aumenta en $\sqrt{2}$

b)

El peso de $700 N = m \cdot g$ nos permite hayar su masa:
$\displaystyle m = \dfrac{F}{g} = \dfrac{700 N}{9,8 m/s^2} = 71,43 kg$
Ya que la gravedad de la tierra se obtiene de la fórmula: $$g_T = \frac{GM_T}{r_T^2} = 9,8 m/s^2$$ Podemos deducir la de marte como $\displaystyle g_M = \frac{G M_T/10}{(r_T/2)^2} = $ $\displaystyle \frac{4}{10} g_T =$ $ 0,4 \cdot 9,8 m/s^2 = 3,92 m/s^2$
Una vez hayado estos datos, es inmediato calcular el peso en Marte ya que:
$P_M = m \cdot g_M = $ $71,43 kg \cdot 3,92 m/s^2 = 280 N$

a)

Siendo la velocidad orbital: $$v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ Para el doble de masa nos queda $\displaystyle \sqrt{\frac{G \cdot 2M}{r}} = \sqrt{2}\, v_{orb}$
Y siendo la energía mecánica:
$$E = \frac{1}{2} m v_{orb}^2 = \frac{G Mm}{2r}$$
Para el doble de masa tenemos $\displaystyle \sqrt{\frac{G \cdot 2M m}{2r}} = 2 E$, que se duplica.

b)

  (i)

Aplicando el principio de conservació de la Energía ($E_1 = E_2$) y dando por hecho que el cohete despega desde la superficie de la tierra a distancia $R_T$ del centro, y que la velocidad mínima sería la que permite alcanzar la altura subiendo solo en vertical y llegando a al altura de la órbita $h = 100km$ a velocidad cero, tenemos

$\displaystyle -\frac{GMm}{R_T} + \frac{1}{2} mv^2 = -\frac{GMm}{R_T + h} + 0 $

$\displaystyle \frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R_T} -\frac{GMm}{R_T + h} $

$\displaystyle v^2 = 2\frac{GMm}{m} \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{R_T + h} \right)$

$\displaystyle v = \sqrt{ 2 GM \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{R_T + h} \right)}$

$\displaystyle v = \sqrt{ 2 \cdot 6,67 \cdot 10 ^-{11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6,37\cdot 10^6} – \frac{1}{6,37\cdot 10^6 + 10^5} \right)}$

$v = 1392,2 m/s^2$

  (ii)

Para que se mantenga en órbita, su velocidad orbital debería de ser:

$\displaystyle v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{R_t + h}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10 ^-{11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^6 + 10^5}} =$ $7851,5 m/s$

a)

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida por la partícula cuando se mueve de un punto a otro. Ejemplos de fuerzas conservativas son la gravitatoria y la elástica y de fuerza no conservativa es el rozamiento.

La energía potencial es la energía almacenada mediante un trabajo conservativo, que puede ser transformada en otros tipos de energía como la cinética o la elástica. Así la energía potencial se relaciona con el trabajo de una fuerza conservativa como $W = -\Delta U$

b)

Para calcular el trabajo realizado en esta fuerza conservativa usamos $W = -\Delta U = m -\Delta V$ con $V = -\frac{G m}{r}$

Para calcular cada una de las distanciar $r_i$ entre la masa que se desplaza y las demás calculamos los módulos de cada uno de las posiciones, para ello nos ayudará darle nombre a los puntos $A=(0,2)m$, $B=(0,-3)m$, $O=(0,0)m$, $C=(1,0)$

$\vec {r_{OA}} = A – O = (0, 2) – (0, 0) = (0, 2)m$
$\vec {r_{OB}} = B – O = (0, -3) – (0, 0) = (0, -3)m$
$\vec {r_{CA}} = A – C = (0, 2) – (1, 0) = (-1, 2)m$
$\vec {r_{CB}} = B – C = (0, -3) – (1, 0) = (-1, -3)m$

${r_{OA}} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
${r_{OB}} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$
${r_{CA}} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
${r_{CB}} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$

$\displaystyle V_O = \frac{G m_1}{r_{OA}} + \frac{G m_2}{r_{OB}}$
$\displaystyle V_C = \frac{G m_1}{r_{CA}} + \frac{G m_2}{r_{CB}}$

$\displaystyle W = m (-\Delta V) = m (V_0 – V_C)$